Bài tập 2 trang 12 SGK Hình học 12
Bài tập 2 trang 12 SGK Hình học 12
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.
Giả sử tổng số đỉnh của khối đa diện là n \((n\geq 4, n\in \mathbb{N}*)\) và các đỉnh là: A1, A2, A3,..,An. Gọi số mặt của đa diện chứa đỉnh Ai là 2mi +1 ⇒ số cạnh Ai là 2mi + 1. Vì mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên số cạnh của khối đa diện là:
\(\begin{array}{l}
c = \frac{{2{m_1} + 1 + 2{m_2} + 1 + ... + 2{m_n} + 1}}{2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {i = \overline {1,n} ;m \in {N^*}} \right)
\end{array}\)
\(=\frac{2(m_1+m_2+...+m_n)+n}{2}\)
\(=m_1+m_2+...+m_n+\frac{n}{2}\)
Vì c nguyên, nên \(\frac{n}{2}\) nguyên hay n là số chẵn.
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247