Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD. Gọi G là giao điểm của SO và AM thì G là trọng tâm của tam giác SAC nên \(\frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)

Mặt phẳng (P) song song với BD nên (P) cắt mp (SBD) theo giao tuyến B′D′ đi qua G và B′D′ / /BD, trong đó B′, D′ lần lượt trên SB và SD.
 B′D′ // BD nên \(\frac{{SB'}}{{SB}} = \frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\)

Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần: Khối chóp S.AB′MD′ và khối đa diện ABCDB′MD′.

\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.AB'D'}}}}{{{V_{S.ABD}}}} = \frac{{SA}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}\\
 \Rightarrow \frac{{{V_{S.AB'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{2}{9}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{{V_{S.MB'D'}}}}{{{V_{S.CBD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SD'}}{{SD}}\\
 = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{2}{9}\\
 \Rightarrow \frac{{{V_{S.MB'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{1}{9}
\end{array}\)

Từ đó suy ra:

\(\frac{{{V_{S.AB'MD'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{{V_{S.AB'D'}} + {V_{S.MB'D'}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}\)

Vậy \(\frac{{{V_{S.AB\prime MD\prime }}}}{{{V_{ABCDB\prime MD'}}}} = \frac{1}{2}\)

-- Mod Toán 12