Bài tập 1.50 trang 22 SBT Hình học 12

Bài tập 1.50 trang 22 SBT Hình học 12

Gọi N là trung điểm của AB, O là trọng tâm tam giác ABC, P là hình chiếu của O lên AN.

Dễ thấy \(SO \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SO \bot AB\), mà \(AB \bot CN\) nên 

\(AB \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow AB \bot OP\).

Lại có \(OP \bot SN\) nên \(OP \bot \left( {SAB} \right)\) hay \(d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OP = \frac{a}{4}\)

Ta có: 

\(CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow ON = \frac{1}{3}CN = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Tam giác SON vuông tại O có \(\frac{1}{{O{P^2}}} = \frac{1}{{O{N^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}}\)

\(\Rightarrow \frac{{16}}{{{a^2}}} = \frac{{36}}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \frac{a}{2}\).

Diện tích tam giác ABC là \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Thể tích khôi chóp \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \)

\(= \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Chọn A.

-- Mod Toán 12