Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì A′ cách đều ba đỉnh A, B, C nên A′ nằm trên trục của ΔABC, do đó A′O ⊥ mp(ABC)
AO là hình chiếu của AA′ trên mp (ABC). Do đó \(widehat {A'AO} = {60^0}\)

Trong tam giác vuông A′OA ta có: 

\(\begin{array}{l}
\tan {60^0} = \frac{{A'O}}{{AO}}\\
 \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0}\\
 = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = a
\end{array}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là 

\(\begin{array}{l}
V = B.h = {S_{ABC}}.A'O\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

b) Vì BC ⊥ AO ⇒ BC ⊥ (AOA′) ⇒> BC ⊥ AA′ hay BC ⊥ BB′ .

Vậy BCC′B′ là hình chữ nhật.

c) Gọi H là trung điểm của AB. Ta có AB ⊥ (A′HO) ⇒ A′H ⊥ AB 

Trong tam giác vuông A′OH, ta có

\(\begin{array}{l}
A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2}\\
 = {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{12}}\\
 \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}
\end{array}\)

Diện tích hình bình hành ABB′A′: 

\({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}\frac{{\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

Tương tự \({S_{ACC'A'}} = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

Diện tích hình chữ nhật BCC′B′ là: 

\(\begin{array}{l}
{S_{BCC\prime B\prime }} = BB\prime .BC = AA\prime .BC\\
 = \frac{{AO}}{{cos{{60}^0}}}.a = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là

\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = 2{S_{AA\prime B\prime B}} + {S_{BCC\prime B\prime }}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2{a^2}\sqrt {13} }}{3}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 12