Bài tập 1.55 trang 23 SBT Hình học 12

Bài tập 1.55 trang 23 SBT Hình học 12

Gọi H là hình chiếu của A′ trên AD, H là trung điểm của AD, E là hình chiếu của H trên A′D.

Ta có: \({S_{ABCD}} = AB.AD = 2{a^2} \)

\(\Rightarrow AH = \frac{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{2{a^3}}}{{2{a^2}}} = a\).

Dễ thấy \(AB\parallel \left( {A'B'CD} \right) \)

\(\Rightarrow d\left( {B,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {A'B'CD} \right)} \right)\).

Lại có \(CD \bot \left( {ADD'A'} \right) \Rightarrow CD \bot HE\). Mà \(HE \bot A'D\) nên \(HE \bot \left( {A'DCB'} \right)\).

Do đó \(d\left( {H,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = HE\).

Mà \(HD = \frac{1}{2}AD = a,HA = a\) 

Nên \(\frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{H{D^2}}} + \frac{1}{{A'{H^2}}}\)

\( \Rightarrow HE = \frac{{HA'.HD}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{D^2}} }} = \frac{{a.a}}{{\sqrt {{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Vậy \(d\left( {B,\left( {A'B'CD} \right)} \right) = 2HE = a\sqrt 2 \).

Chọn D.

-- Mod Toán 12