Bài tập 1.34 trang 20 SBT Hình học 12

Bài tập 1.34 trang 20 SBT Hình học 12

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện.

Ta có:

\(V = {V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}}\)

Lại có \({V_{I.BCD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.r,\)

\({V_{I.CDA}}= \frac{1}{3}{S_{CDA}}.r\)

\({V_{I.DAB}} = \frac{1}{3}{S_{DAB}}.r\); \({V_{I.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.r\)

\( \Rightarrow 1 = \frac{{{V_{IBCD}}}}{V} + \frac{{{V_{ICDA}}}}{V} + \frac{{{V_{IDAB}}}}{V} + \frac{{{V_{IABC}}}}{V}\)

\(\begin{array}{l}
 = \frac{{\frac{1}{3}r{S_{BCD}}}}{{\frac{1}{3}{h_A}{S_{BCD}}}} + \frac{{\frac{1}{3}r{S_{CDA}}}}{{\frac{1}{3}{h_B}{S_{CDA}}}} + \frac{{\frac{1}{3}r{S_{DAB}}}}{{\frac{1}{3}{h_C}{S_{DAB}}}}\\
\,\,\,\,\,\,\, + \frac{{\frac{1}{3}r{S_{ABC}}}}{{\frac{1}{3}{h_D}{S_{ABC}}}}
\end{array}\)

\( = r\left( {\frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{1}{r} = \frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}\) (đpcm).

-- Mod Toán 12