Bài tập 12 trang 27 SGK Hình học 12

Bài tập 12 trang 27 SGK Hình học 12

Câu a:

Ta tính thể tích hình chóp M.ADN. Hình chóp này có chiều cao bằng a và diện tích AND bằng \(\frac{a^2}{2}\)

\(V_{ADMN}=\frac{1}{3}a.\frac{a^2}{2}=\frac{a^3}{6}\)

Câu b:

Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp(DMN).

Do (ABCD) // (A'B'C'D') nên (DMN) cắt (A'B'C'D') theo một giao tuyến song song với DN. Ta dựng thiết diện như sau:

- Từ M kẻ đường thẳng song song với DN, đường này cắt cạnh A'D' tại điểm P và cắt đường thẳng C'B' tại điểm Q. Trong mặt phẳng (BCC'B') thì QN cắt cạnh BB' tại điểm R; đa giác DNRMP chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mp (DMN).

- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện ABNDPMR. Thể tích này có thể coi là thể tích của ba hình chóp.

V₁ là thể tích hình chóp đáy ABND, đỉnh M;

V₂ là thể tích hình chóp đáy AA'PD, đỉnh M;

V₃ là thể tích hình chóp đáy NRB, đỉnh M

Hình chóp M.ABND, có đường cao bằng a, diện tích đáy là hình thang ABND là:

\(\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{2}+a \right ).a=\frac{3a^2}{4}\)

Suy ra: \(V_1=\frac{1}{3}.\frac{3a^2}{4}.a\Rightarrow V=\frac{a^3}{4}\)

Dễ thấy \(A'P=\frac{a}{4}\). Hình chóp M.AA'PD có chiều cao \(\frac{a}{2}\) và diện tích hình thang AA'PD là: \(\frac{1}{2}\left ( \frac{a}{4}+a \right )a=\frac{5a^2}{8}\)

Suy ra: \(V_2=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{5a^2}{8}\Rightarrow V_2= \frac{5a^2}{48}\)

Dễ thấy \(BR=\frac{2}{3}a\). Diện tích tam giác NRB là: \(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}a.\frac{a}{2}=\frac{a^2}{6}\)

Hình chóp M.NRB có chiều cao \(\frac{a}{2}\) và diện tích đáy \(\frac{a^2}{6}\) nên:

\(V_2=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{a^2}{6}\Rightarrow V_3=\frac{a^3}{36}\)

\(V_{ABNDPMR}=V_1+V_2+V_3\)

\(= \frac{5a^3}{48}+\frac{a^3}{4}+\frac{a^3}{36}=\frac{55a^3}{144}\)

Thể tích phần còn lại là: \(\frac{144a^3}{144}-\frac{55a^3}{144}=\frac{89a^3}{144}\)

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: \(\frac{55}{89}\)

-- Mod Toán 12