Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
.png)
a) Ta có: \({V_{M.AB'C}} = {V_{B'.ACM}}\)
\({S_{AMC}} = \frac{3}{4}{S_{ADC}} = \frac{3}{4}.\frac{1}{2}.2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\)
Do đó \({V_{M.AB'C}} = {V_{B'.ACM}} = \frac{1}{3}B'B.{S_{AMC}} \)
\(= \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}}}{4}.a = \frac{{{a^3}}}{4}\)
b) Gọi h là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C)
Khi đó \({V_{M.AB'C}} = \frac{1}{3}{S_{AB'C}}.h = \frac{{{a^3}}}{4}\)
Vì \(A{C^2} = B'{C^2} = 5{a^2}\) nên tam giác ACB′ cân tại C. Do đó, đường trung tuyến CI của tam giác ACB′ cũng là đường cao.
Ta có: \(C{I^2} = C{A^2} - A{I^2} \)
\(= 5{a^2} - {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 5{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{9{a^2}}}{2}\)
Do đó:
\(CI = \frac{{3a}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {S_{AB'C}} = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{{\sqrt 2 }}.a\sqrt 2 \)
\(= \frac{{3{a^2}}}{2}\)
\( \Rightarrow h = \frac{{3V}}{S} = \frac{{3{a^3}}}{4}:\frac{{3{a^2}}}{2} = \frac{a}{2}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247