Chương 4: Số Phức

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

a) \(\small z = 1 - \pi i.\)                             

b) \(\small z = \sqrt{2} - 1\).

c) \(\small z = 2\sqrt{2}\).                                

d) \(\small z = -7i\).

Tìm các số thực x và y, bết:

a) \(\small (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i.\)

b) \(\small (1 - 2x) - i\sqrt{3} = \sqrt{5} + (1 - 3y)i.\)

c) \(\small (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng -2.

b) Phần ảo của z bằng 3.

c) Phần thực của z thuộc khoảng (-1; 2).

d) Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3].

e) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [-2; 2].

Tính |z| với:

a)\(\small z=-2+i\sqrt{3}\);                         b) \(\small z=\sqrt{2}-3i\)

c) \(\small z = -5\);                                     d) \(\small z=i\sqrt{3}\).

Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:

a) |z| = 1.

b) |z| ≤ 1.

c) 1 < |z| ≤ 2.

d) |z| = 1 và phần ảo của z bằng 1.

Tìm , biết:

a) \(\small z = 1 - i\sqrt{2}\). 

b) \(\small z = -\sqrt{2} + i\sqrt{3}\).

c) \(\small z = 5\).                             

d) \(\small z = 7i\).

Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 - 5i) + (2 + 4i).

b) (-2 - 3i) + (-1 - 7i).

c) (4 + 3i) - (5 - 7i).                      

d) (2 - 3i) - ( 5 - 41).

Tính \(\small \alpha + \beta , \alpha - \beta\), biết:

a)  \(\small \alpha = 3, \beta = 2 i\)                        b) \(\small \alpha = 1- 2i, \beta = 6i\)

c) \(\small \alpha = 5i, \beta = -7i\)                     d) \(\small \alpha = 15, \beta = 4 - 2i\)

Thực hiện các phép tính sau:

a) (3 - 2i)(2 - 3i);                   b) (-1 + i)(3 + 7i);

c) 5(4 + 3i)                            d) (-2 - 5i).4i 

Tính:

a) (2 + 3i)² .

b) (2 + 3i)³ .   

Tìm nghịch đảo  của số phức z, biết:

a) \(z = 1 + 2i\).                         b) \(\small z = \sqrt{2 }- 3i\).

c) \(\small z = i\).                                    d)\(\small z = 5 + i\sqrt{3}\).

Thực hiện các phép tính sau:

a) \(\small 2i(3 + i)(2 + 4i)\).                       b) \(\frac{(1+i)^{2}(2i)^{3}}{-2+i}\).

c) \(\small 3 + 2i + (6 + i)(5 + i)\).            d)  \(4 - 3i +\frac{5+4i}{3+6i}\).

Giải các phương trình sau:

a) \((3 - 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\).               

b) \(\small (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z\).

c) \(\frac{z}{4-3i}+ (2 - 3i) = 5 - 2i\).

Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) -3z² + 2z – 1 = 0.

b) 7z² + 3z +2  = 0.          

c) 5z² - 7z + 11 = 0.

Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) \(\small z^4 + z^2 - 6 = 0\);                 b) \(\small z^4 + 7z^2 + 10 = 0\)

Thế nào là phần thực phần ảo, mô đun của một số phức? Viết công thức tính mô đun của số phức theo phần thực phần ảo của nó?

Tìm mối liên hệ giữa khái niêm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực.

Nêu định nghĩa số phức liên hợp với số phức z. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?

Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình a, b , c?

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp biểu diễn của các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng 1.

b) Phần ảo của z bằng -2.

c) Phần thực của z thuộc đoạn [-1; 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0; 1].

d) \(|z|\leq 2\).

 Tìm các số thực x, y sao cho:

\(a) \ 3x+yi=2y+1+(2-x)i\).

\(b) \ 2x+y-1=(x+2y-5)i\).

Chứng tỏ rằng với mọi số thực z, ta luôn phần thực và phần ảo của nó không vượt quá mô đun của nó.

Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3+2i)\left [ (2-i)+(3-2i) \right ]\)
b) \((4-3i)+\frac{1+i}{2+i}\).
c) \((1+i)^2-(1-i)^2\).
d) \(\frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}\).

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(3z^2+7z+8=0.\)

b) \(z^4-8=0.\)

c) \(z^4-1=0.\)

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

Cho hai số phức z₁,z₂, biết rằng z₁+z₂ và z₁.z₂ là hai số thực. Chứng tỏ rằng z₁,z₂ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Số nào trong các sô sau là số ảo?
\(\\ (A).(\sqrt{2}+3i)(\sqrt{2-3i}) \\ \ \ \ \ (B). (\sqrt{2}-3i)(\sqrt{2+3i}) \\ (C). (2+2i)^2 \\ (D). \frac{3+2i}{2-3i}\)

Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

(A). i¹⁹⁷⁷=-1

(B). i²³⁴⁵=i

(C). i²⁰⁰⁵=1

(D). i²⁰⁰⁶=-i

Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

(A). (1-i)⁸=-16

(B). (1+i)⁸=16i

(C). (1+i)⁸=16

(D). (1+i)⁸=-16i

Biết nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?

(A). \(z\in \mathbb{R}\)

(B). \(|z|=1\)

(C). z là số thuần ảo

(D). \(|z|=-1\)

 Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?

A. Mô đun của số phức z là một số thực.

B. Mô đun của số phức z là một số phức.

C. Mô đun của số phức z là một số thực dương.

D. Mô đun của số phức z là một số thực không âm.

Định nghĩa sự đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của một hàm số trên một khoảng.

Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) đơn điệu trên một khoảng.

Phát biểu các điều kiện cần và đủ để hàm số f(x) có cực trị (cực đại, cực tiểu) tại điểm x₀.

Nêu sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Nêu định nghĩa và các tính chất cơ bản của logarit.

Phát biểu các định lí về quy tắc logarit, công thức đổi cơ số của logarit.

Nêu tính chất của hàm số mũ, hàm số logarit, mối liên hệ giữa đồ thị các hàm số mũ và hàm số logarit cùng cơ số.

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính nguyên hàm.

Nêu định nghĩa và các phương pháp tính tích phân.

Nhắc lại các định nghĩa số phức, số phức liên hợp, môđun của số phức. Biểu diễn hình học của số phức.

Cho hàm số f(x) = ax² - 2(a+1)x + a + 2  (a \(\neq\) 0)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Cho hàm số y = ax³ + ax² + bx + 1

a) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua A(1;2) và B(-2; -1)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b.

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = 0, x = 1 và đồ thị (C) xung quanh trục hoành.

Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x+m-1}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2;

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ \(a\neq -1.\)

Cho hàm số \(y=\frac{2}{2-x}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị hàm số y = x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm.

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng y = 0, x = 0, x = 1 xung quanh trục Ox.

 Cho hàm số \(y=-\frac{1}{3}x^3+(a-1)x^2+(a+3)x-4\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng y = 0, x = -1, x = 1.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: 

\(s(t)=\frac{1}{4}t^4-t^3+\frac{t^2}{2}-3t\)

trong đó t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tính v(2), a(2) biết v(t), a(t) lần lượt là vận tốc, gia tốc của chuyển động đã cho.

b) Tìm thời điểm t mà tại đó vận tốc bằng 0.

Cho hàm số y = x⁴ + ax² + b

a) Tính a, b để hàm số có cực trị bẳng \(\frac{3}{2}\) khi x = 1.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi \(a=-\frac{1}{2}\), b= 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1.​

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) f(x) = 2x³ - 3x² - 12x + 1 trên đoạn \(\left [ -2;\frac{5}{2} \right ]\).

b) f(x) = x² lnx trên đoạn [1; e].

c) f(x) = x e-x trên nữa khoảng \([0;+\infty )\).

d) f(x) = 2sinx + sin2x trên đoạn \(\left [ 0; \frac{3}{2}\pi \right ]\).

Giải các phương trình sau:

a) \(13^{2x+1}-13^x-12=0\)

b) \((3^x+2^x)(3^x+3.2^x)=8.6^x\)

c) \(log_{\sqrt{3}}(x-2)log_5x = 2.log_3(x-2)\)

d) \(log^2_2x - 5 log_2x + 6 = 0\)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\frac{2^x}{3^x-2^x}\leq 2\)

b) \(\left ( \frac{1}{2} \right )^{log_2(x^2-1)}>1\)

c) \(log^2x + 3logx \geq 4\)

d) \(\frac{1-log_4x}{1+log_2x}\leq \frac{1}{4}\)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:

a) \(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnx dx\)

b) \(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{xdx}{sin^2x}\)

c) \(\int_{0}^{\pi }(\pi -x)sinxdx\)

d) \(\int_{-1}^{0 }(2x+3)e^{-x}dx\)

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{24}}tan \left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )dx\) (đặt \(u=cos\left ( \frac{\pi }{3}-4x \right )\))

b) \(\int_{\frac{\sqrt{3}}{5}}^{\frac{3}{5}}\frac{dx}{9+25x^2}\) (đặt \(x=\frac{3}{5}tant\))

c) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sin^3xcos^4xdx\) (đặt u = cosx)

d) \(\int_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{1+tanx}}{cos^2x}dx\) (đặt \(u=\sqrt{1+tanx}\))

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

a) y = x² + 1, x = -1, x = 2 và trục hoành

b) y = ln x, \(x=\frac{1}{e}\) , x = e và trục hoành

Tìm thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x² và y=x³ xung quanh trục Ox.

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (3 + 2i)z - (4 + 7i) = 2 - 5i

b) (7 - 3i)z + (2 + 3i) = (5 - 4i)z

c) z² - 2z + 13 = 0

d) z⁴ - z² - 6 = 0

Trên mặt phẳng toạ độ, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn bất đẳng thức:

a) |z| < 2

b) \(|z-i|\leq1\)

c) \(|z-1-i|\leq 1\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (3+4i)z + (1-3i) = 2+5i.  

b) (4+7i)z - (5-2i) = 6iz.

Tìm các số thực x, y thỏa mãn :

a) \(2x + 1 + (1 - 2y)i = 2 - x + (3y - 2)i\)

b) \(4x + 3 + (3y - 2)i = y + 1 + (x - 3)i\)

c) \(4x + 3 + (3y - 2)i = y + 1 + (x - 3)i\)

Cho hai số phức \(\alpha  = a + bi,\beta  = c + di\). Hãy tìm điều kiện của a, b, c, d để các điểm biểu diễn \(\alpha\) và \(\beta\) trên mặt phẳng tọa độ :
a) Đối xứng với nhau qua trục Ox;
b) Đối xứng với nhau qua trục Oy;
c) Đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba;
d) Đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng phần ảo của nó ;
b) Phần thực của z là số đối của phần ảo của nó ;
c) Phần ảo của z bằng hai lần phần thực của nó cộng với 1;
d) Modun của z bằng 1, phần thực của z không âm.

Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình 4.2 và hình 4.3?

Hãy biểu diễn các số phức  z trên mặt phẳng tọa độ, biết \(|z| \le 2\) và:
a) Phần thực của z không vượt quá phần ảo của nó;
b) Phần ảo của z lớn hơn 1;
c) Phần ảo của z nhỏ hơn 1, phần thực của z lớn hơn 1.

Cho z ∈ C. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Nếu z ∈ R thì \(z = \bar z\)

B. Nếu \(z = \bar z\) thì z ∈ R

C. Nếu z ∈ R thì z = |z|

D. Nếu z = |z| thì z ∈ R

Cho \(z \in C\)$\mathbb{}$. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Nếu \(z \in C\backslash R\) thì z là một số thuần ảo.

B. Nếu z là một số thuần ảo thì \(z \in C\backslash R\)$\mathbb{}$

C. Nếu z là một số thuần ảo thì z = |z|

D. Nếu z là một số thuần ảo thì z=z¯¯¯$z=\overline{z}$

Thực hiện các phép tính :

a) \((2 + 4i)(3 - 5i) + 7(4 - 3i)\)

b) \((1 - 2i)2 - (2 - 3i)(3 + 2i)\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :

a) \({\left( {5 - 7i} \right) + \sqrt 3 x = \left( {2 - 5i} \right)\left( {1 + 3i} \right)}\)

b) \({\left( {5 - 7i} \right) + \sqrt 3 x = \left( {2 - 5i} \right)\left( {1 + 3i} \right)}\)

Tính các lũy thừa sau :

a) \({{{\left( {3 - 4i} \right)}^2}}\)

b) \({{{\left( {2 + 3i} \right)}^3}}\)

c) \({{{\left[ {\left( {4 + 5i} \right) - \left( {4 + 3i} \right)} \right]}^5}}\)

d) \({{{\left( {\sqrt 2  - i\sqrt 3 } \right)}^2}}\)

Tính

a) \({{{\left( {1 + i} \right)}^{2006}}}\)

b) \({{{\left( {1 - i} \right)}^{2006}}}\)

Cho \(z = a + bi\). Chứng minh rằng :

a) \({{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2} = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}\)

b) \({{z^2} - {{\left( {\bar z} \right)}^2} = 4abi}\)

c) \({{z^2}.{{\left( {\bar z} \right)}^2} = {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}\)

Phân tích thành nhân tử trên tập hợp số phức :
a) \({{u^2} + {v^2}}\)

b) \({{u^4} - {v^4}}\)

a) Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i,{z^2} = 2 - 3i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức \({z_1} - 2{z_2}\)
b) Cho hai số phức \({z_1} = 2 + 5i,{z_2} = 3 - 4i\). Xác định phần thực và phần ảo của số phức z₁.z₂

Cho\(z \in C\). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({z + \bar z \in R}\)

B. \({z.\bar z \in R}\)

C. \({z - \bar z \in R}\)

D. \({{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2} \in R}\)

Cho  n, k ∈ N , biết  in = −1 . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. n là một số chẵn
B. n là một số lẻ
C. n = 4k+2
D. n = 4k+3

Cho \({z_1};{z_2} \in C\). Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. \({z_1}.\overline {{z_2}}  + \overline {{z_1}} .{z_2} \in R\)

B. \({z_1}.{z_2} + \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}}  \in R\)

C. \({z_1}.\overline {{z_2}} .\overline {{z_1}} .{z_2} \in R\)

D. \({z_1}.{z_2} - \overline {{z_1}} .\overline {{z_2}}  \in R\)

Thực hiện các phép tính sau :
a) \(\frac{{(2 + i) + (1 + i)(4 - 3i)}}{{3 + 2i}}\)

b) \(\frac{{(3 - 4i)(1 + 2i)}}{{1 - 2i}} + 4 - 3i\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({\left( {3 + 4i} \right)x = \left( {1 + 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}\)

b) \({\left( {3 + 4i} \right)x = \left( {1 + 2i} \right)\left( {4 + i} \right)}\)

c) \({3x\left( {2 - i} \right) + 1 = 2ix\left( {1 + i} \right) + 3i}\)

Tìm nghịch đảo của số phức sau
a) \({\sqrt 2  - i\sqrt 3 }\)

b) \(i\)

c) \({\frac{{1 + i\sqrt 5 }}{{3 - 2i}}}\)

d) \({{{\left( {3 + i\sqrt 2 } \right)}^2}}\)

Giải phương trình sau trên tập số phức \(\left( {1 - i} \right)z + \left( {2 - i} \right) = 4 - 5i\)

Tìm các số phức \(2z + \bar z\) và \(\frac{{25i}}{z}\) biết rằng z = 3−4i

Cho \(z \in C\). Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. \({\frac{1}{z} \in R \Leftrightarrow z \in R}\)

B. \({\frac{1}{z}}\) thuần ảo \(\Leftrightarrow z\) thuần ảo

C. \({\frac{1}{z} = \bar z \Leftrightarrow \left| z \right| = 1}\)

D. \({\left| {\frac{1}{z}} \right| = \left| z \right| \Leftrightarrow z \in R}\)

Cho \(z = a + bi \in C\), biết \(\frac{z}{{\bar z}} \in R\). Kết luận nào sau đây đúng?
A. a = 0

B. b = 0

C. a = b

D.ab = 0

Cho \(z = a + bi \in C\), biết \(\frac{z}{{\bar z}}\) là một số thuần ảo. Kết luận nào sau đây đúng?
A. a = 0

B. b = 0

C. a = b

D. a = b hoặc a = −b

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({2{x^2} + 3x + 4 = 0}\)

b) \({3{x^2} + 2x + 7 = 0}\)

c) \({2{x^4} + 3{x^2} - 5 = 0}\)

Biết \({{z_1}}\) và \({{z_2}}\) là hai nghiệm của phương trình \(2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0\). Hãy tính :
a) \({z_1^2 + z_2^2}\)

b) \({z_1^3 + z_2^3}\)

c) \({z_1^4 + z_2^4}\)

d) \({\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \frac{{{z_2}}}{{{z_1}}}}\)

Chứng minh rằng hai số phức liên hợp \(z\) và \(\overline z \) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :
a) \({1 + i\sqrt 2 }\) và \({1 - i\sqrt 2 }\)

b) \({\sqrt 3  + 2i}\) và \({\sqrt 3  - 2i}\)

c) \({ - \sqrt 3  + i\sqrt 2 }\) và \({ - \sqrt 3  - i\sqrt 2 }\)

Giải các hệ phương trình sau trên tập số phức :
a) \({{x^3} - 8 = 0}\)

b) \({{x^3} + 8 = 0}\)

Giải phương trình \({\left( {z - i} \right)^2} + 4 = 0\) trên tập số phức.

Giả sử \({z_1},{z_2} \in C\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. \({{z_1} \in R \Rightarrow {z_2} \in R}\)

B. \({z_1}\) thuần ảo \(\Rightarrow {z_2}\) thuần ảo

C. \({{z_1} = \overline {{z_2}} }\)

D. \({{z_1} \in C\backslash R \Rightarrow {z_2} \in C\backslash R}\)

Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Số phức \(z = a + bi\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2ax + \left( {{a^2} + {b^2}} \right) = 0\)

B. Mọi số phức đều là nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

C. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm trong tập số phức C (hai nghiệm không nhất thiết phân biệt)

D. Mọi phương trình bậc hai với hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính 
a) \({{{\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)}^2}}\)

b) \({{{\left( {1 + 2i} \right)}^3}}\)

c) \({{{\left( {3 - i\sqrt 2 } \right)}^2}}\)

d) \({{{\left( {2 - i} \right)}^3}}\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({\left( {1 + 2i} \right)x - \left( {4 - 5i} \right) =  - 7 + 3i}\)

b) \({\left( {3 + 2i} \right)x - 6ix = \left( {1 - 2i} \right)\left[ {x - \left( {1 + 5i} \right)} \right]}\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({3{x^2} + \left( {3 + 2i\sqrt 2 } \right)x - \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = i\sqrt 8 x}\)

b) \({{{\left( {1 - ix} \right)}^2} + \left( {3 + 2i} \right)x - 5 = 0}\)

Tìm số phức z, biết:
a) \({\bar z = {z^3}}\)

b) \({\left| z \right| + z = 3 + 4i}\)

Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\\
\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|
\end{array} \right.\)

Chứng tỏ rằng \(\frac{{z - 1}}{{z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi z$z$ là một số thực khác −1

Số nào sau đây là số thực?

A. \(\frac{{2 + i\sqrt 2 }}{{1 - i\sqrt 2 }} + \frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 - i\sqrt 2 }}\)

B. \(\left( {2 + 3i} \right)\left( {3 - i} \right) + \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right)\)

C. \(\frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{2 - i}} + \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{2 + i}}\)

D. \({\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)^2}\)

Số nào sau đây là số thuần ảo ?
A. \({\frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^3}}}}\)

B. \({{{\left( {1 + i} \right)}^5} - {{\left( {1 - i} \right)}^5}}\)

C. \({\frac{{1 + i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{1 + i}}}\)

D. \({\frac{{3 + 2i}}{{2 - i}} + \frac{{3 - 2i}}{{2 + i}}}\)

Cho z là một số phức tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(z \in R \Leftrightarrow z = \bar z\)

B. z thuần ảo \( \Leftrightarrow z + \bar z = 0\)

C. \(\frac{z}{{\bar z}} - \frac{{\bar z}}{z} \in R\left( {z \ne 0} \right)\)

D. \({z^3} + {\left( {\bar z} \right)^3} \in R\)

Cho \({z_1},{z_2} \in C\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({z_1} + {z_2} \in R\)             

B. \({z_1}.{z_2} \in R\)

C. \({z_1} - {z_2} \in R\)             

D. \(z_1^2 + z_2^2 \in R\)

Cho \(k,n \in N\), biết \({\left( {1 + i} \right)^n} \in R\). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. n = 4k+1                 B. n = 4k+2

C. n = 4k+3                 D. n = 4k

Cho các số phức: 2+3i; 1+2i; 2–i

a) Biểu diễn các số đó trong mặt phẳng phức.

b) Viết số phức liên hợp của mỗi số đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức.

c) Viết số đối của mỗi số phức đó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng

Xác định phần thực và phần thực của các số sau:

\(\begin{array}{l}
a)i + \left( {2 - 4i} \right) - \left( {3 - 2i} \right)\\
b){(\sqrt {2 + 3i} )^2}\\
c)\left( {2 + 3i} \right)\left( {2 - 3i} \right)\\
d)i\left( {2 - i} \right)\left( {3 + i} \right)
\end{array}\)

Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

Thực hiện phép tính: 

\(\frac{1}{{2 - 3i}};\frac{1}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}i}};\frac{{3 - 2i}}{i};\frac{{3 - 4i}}{{4 - i}}\)

Cho \(z = \frac{{ - 1}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.\)

Hãy tính \(\frac{1}{z};\overline z ;{z^2};{\left( {\overline z } \right)^3};1 + z + {z^2}\)

Chứng minh rằng:

a) Phần thực của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z + \bar z} \right)\) phần ảo của số phức z bằng \(\frac{1}{2}\left( {z - \bar z} \right)\)

b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \(z =  - \bar z;\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có \(\overline {z + z'}  = \bar z + \overline {z'} , \overline {zz'}  = \bar z.\overline {z'} \) và nếu z ≠ 0 thì \(\frac{{\overline {z'} }}{{\bar z}} = \overline {\left( {\frac{{z'}}{z}} \right)} \)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên m > 0, ta có

\({i^{4m}} = 1;{i^{4m + 1}} = i;{i^{4m + 2}} =  - 1;{i^{4m + 3}} =  - i\)

Chứng minh rằng

a) Nếu vecto \(\vec u\) của mạt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ \(\vec u\) là |\(\vec u\)| = |z|, và từ đó nếu các điểm A₁, A₂ theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁; z₂ thì \(\left| {\overrightarrow {{A_1}{A_2}} } \right| = |{z_2} - {z_1}|\)

b) Với mọi số phức z, z', ta có |zz′| = |z||z′| và khi z ≠ 0 thì \(\left| {\frac{{z'}}{z}} \right| = \frac{{|z'|}}{{|z|}}\)

c) Với mọi số phức z, z', ta có |z+z′| ≤ |z| + |z′|.

Xác định tập hợp câc điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) |z - i| = 1

b) \(\left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| = 1\)

c) \(|z| = \mid \overline z  - 3 + 4i\mid \)

Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có: 

\(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) z² là số thực âm;

b) z² là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)

d) \(\frac{1}{{z - i}}\) là số ảo

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) iz + 2 − i = 0                               

b) (2 + 3i)z = z − 1

c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)                 

d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)

e) z² + 4 = 0

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.

a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z₁, z₂, z₃. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z₁, z₂, z₃  thỏa mãn |z₁| = |z₂| = |z₃|

Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z₁ + z₂ + z₃ = 0

Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn  số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.

Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?

Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: −i; 4i - 4; -4; \(1 + 4\sqrt 3 i\)

Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của số phức w thì \(\left| z \right| = \sqrt {\left| {\rm{w}} \right|} \)

Tìm nghiệm phức của các phương trình bậc hai sau:

\(\begin{array}{l}
a){z^2} = z + 1\\
b){z^2} + 2z + 5 = 0\\
c){z^2} + \left( {1 - 3i} \right)z - 2\left( {1 + i} \right) = 0
\end{array}\)

a) Hỏi công thức Vi-ét về phương trình bậc hai với hệ số thực có còn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không? Vì sao?

b) Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

c) Có phải mọi phương trình bậc hai z² + Bz + C = 0 (B,C là hai số phức) nhận hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực phải có các hệ số B,C là hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có đúng không?

a) Giải phương trình: (z² + i)(z² − 2iz − 1) = 0

b) Tìm số phức B để phương trình bậc hai z² + Bz + 3i = 0 có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8.

Đố vui. Một học sinh kí hiệu một căn bậc hai của −1 là \(\sqrt { - 1} \) và tính \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) như sau:

a) Theo định nghĩa căn bậc hai của −1 thì \(\sqrt { - 1} \).\(\sqrt { - 1} \) = -1

b) Theo tính chất của căn bậc hai (tính của hai căn bậc hai của hai số bằng căn bậc hai của tích hai số đó) thì \(\sqrt { - 1} .\sqrt { - 1}  = \sqrt {\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)}  = \sqrt 1  = 1\)

Từ đó, học sinh đó suy ra −1 = 1

Hãy tìm điều sai trong lập luận trên.

Tìm nghiệm phức phương trình \(z + \frac{1}{z} = k\) trong các trường hợp sau:

a) k = 1

b) \(k = \sqrt 2 \)

c) k = 2i

Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức):

\(\begin{array}{l}
a){z^3} + 1 = 0\\
b){z^4} - 1 = 0\\
c){z^4} + 4 = 0\\
d)8{z^4} + 8{z^3} = z + 1
\end{array}\)

a) Tìm các số thực b, c để phương trình (với ẩn z):

z² + bz + c = 0 

nhận z = 1 + i làm một nghiệm.

b) Tìm các số thực a, b, c để phương trình (với ẩn z):

z³ + az² + bz + c = 0

nhận z = 1 + i làm nghiệm và cũng nhận z = 2 là nghiệm.

a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có (cosφ + isinφ)²=cos2φ + isin2φ.

Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2φ + isin2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.

b) Tìm các căn bậc hai của \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).

Tìm phần thực, phần ảo của

\(\begin{array}{l}
a){\left( {2 - 3i} \right)^3} \\
b)\frac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{3 - 2i}} \\
c)(x + iy)^2 - 2(x + iy) + 5(x,y \in R)
\end{array}\)

Với x, y nào thì số phức đó là số thực?

Chứng minh rằng |z| = |w| = 1 thì số \(\frac{{z + w}}{{1 + zw}}\) là số thực (giả sử 1 + zw ≠ 0)

Giải các phương trình sau trên C:

\(\begin{array}{l}
a)(z + 3 - i)^2 - 6(z + 3 - i) + 13 = 0\\
b){\left( {\frac{{iz + 3}}{{z - 2i}}} \right)^2} - 3\frac{{iz + 3}}{{z - 2i}} - 4 = 0\\
c){({z^2} + 1)^2} + {(z + 3)^2} = 0
\end{array}\)

Xét các số phức:

\({z_1} = \sqrt 6  - i\sqrt 2 ;{z_2} =  - 2 - 2i;{z_3} = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\)

a) Viết \({z_1};{z_2}; {z_3}\) dưới dạng lượng giác

b) Từ câu a hãy tính \(\cos \frac{{7\pi }}{{12}}\) và \(\sin \frac{{7\pi }}{{12}}\)

Cho \(z = (\sqrt 6  + \sqrt 2 ) + i(\sqrt 6  - \sqrt 2 )\)

a) Viết z² dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác

b) Từ câu a, hãy suy ra dạng lượng giác của z

a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = \frac{1}{2},\tan b = \frac{1}{3}\) với \(a,b \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(a + b = \frac{\pi }{4}\)

b) Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = \frac{1}{2},\tan b = \frac{1}{5}\), \(\tan c = \frac{1}{8}\) với \(a,b,c \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) thì \(a + b + c= \frac{\pi }{4}\)

Phần thực của \(z = 2i\) là

(A) 2

(B) 2i                       

(C) 0

(D) 1

Phần ảo \(z =  - 2i\) của là:

(A) - 2

(B) - 2i

(C) 0

(D) - 1

Số \(z + \bar z\) là

(A) Số thực

(B) Số ảo

(C) 0

(D) 2

Số \(z - \bar z\) là

(A) Số thực

(B) Số ảo

(C) 0

(D) 2i

Số \(\frac{1}{{1 + i}}\) bằng

(A) \(1+i\) 

(B) \(\frac{1}{2}\left( {1 - i} \right)\)

(C) \(1–i\)

(D) \(i\)

Tập hợp các nghiệm của phương trình \(z = \frac{z}{{z + i}}\) là:

(A) {0;1−i}$$

(B) {0}

(C) {1−i}$$

(D) {0;1}

Mođun của \(1-2i\) bằng

(A) 3

(B) \(\sqrt 5 \)                         

(C) 2

(D) 1

Mođun của \( - 2iz\) bằng

(A) \( - 2\left| z \right|\)

(B) \(\sqrt 2 z\)

(C) \(2\left| z \right|\)

(D) 2

Acgumen của \( - 1 + i\)$$ bằng

(A) \(\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

(B) \( - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                

(C) \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                                      

(D) \(\frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Nếu \(z = \cos \varphi  - i\sin \varphi \) thì acgumen của z bằng:

(A) \(\varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

(B) \( - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)  

(C) \(\varphi  + \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                                   

(D) \(\varphi  + \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Nếu \(z =  - \sin \varphi  - i\cos \varphi \) thì acgumen của z bằng:

(A) \( - \frac{\pi }{2} + \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                              

(B) \( - \frac{\pi }{2} - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                 

(C) \(\frac{\pi }{2} + \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                                       

(D) \(\pi  - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Nếu acgumen của z bằng \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) thì

(A) Phần ảo của z là số dương và phần thực của z bằng 0;

(B) Phần ảo của z là số âm và phần thực của z bằng 0;

(C) Phần thực của z là số âm và phần ảo của z bằng 0;

(D) Phần thực và phần ảo của z đều là số âm.

a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = e^x – x – 1 đồng biến trên nửa khoảng \([0; + \infty )\)$$

b) Từ đó suy ra: e^x > x + 1 với mọi x > 0.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số f(x) = 2x³ – 3x² – 12x – 10

b) Chứng minh rằng phương trình 2x³ – 3x² – 12x – 10 = 0 có nghiệm thực duy nhất.

c) Gọi nghiệm thực duy nhất của hàm số là \(\alpha\)

Chứng ming rằng \(3,5 < \alpha  < 3,6\)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 3600 bản in trong một giờ. Chi phí để vận hành một máy trong mỗi lầm in là 50 nghìn đồng. Chi phí để n máy chạy trong một giờ là 10(6n + 10) nghìn đồng.

Hỏi nếu in 50000 tờ quảng cáo thì phải sử dụng bao nhiêu máy để được lãi nhiều nhất?

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt { - {x^2} + x + 6} }}\) trên đoạn [0, 1]

a) Cho \(P(x) = \frac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}\) và hai số a, b thỏa mãn a + b = 1

Hãy tính P(a) + P(b)

b) Hãy so sánh \(A = \sqrt[3]{{18}}\) và \(B = {\left( {\frac{1}{6}} \right)^{{{\log }_6}2 - \frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 6 }}5}}\)

a) Chứng minh rằng nếu a và b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab thì          

\({\log _7}\frac{{a + b}}{3} = \frac{1}{2}({\log _7}a + {\log _7}b)\)

b) Biết a và b là hai số dương, a ≠ 1 sao cho \({\log _a}b = \sqrt 3 \)

Hãy tính \({\log _{a\sqrt b }}\frac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt {{b^3}} }}\)

a) Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e^2tanx và y = log₂(sinx)

b) Chứng minh rằng hàm số y = e^4x + 2e^-x thỏa mãn hệ thức y’’' – 13y’ – 12y = 0

a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 2x; \(y = {(\sqrt 2 )^x}\) và \(y = {(\sqrt 3 )^x}\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ,

Hãy nêu nhận xét về trị trí tương đối của ba đồ thị hàm số đó.

b) Vẽ đồ thị hàm số y = log₃x.

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số y = 2 + log₃x và đồ thị của hàm số y = log₃(x + 2)     

Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) \(y = \log \left[ {1 - \log \left( {{x^2} - 5x + 16} \right)} \right]\)

b) \(y = \sqrt {{{\log }_{0,5}}( - {x^2} + x + 6)}  + \frac{1}{{{x^2} + 2x}}\)

Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau

a) y = x³ (1 + x⁴)³

b) y = cosx sin2x

c) \(y = \frac{x}{{{{\cos }^2}x}}\)

Tìm hàm số f, biết rằng \(f'(x) = 8{\sin ^2}(x + \frac{\pi }{{12}})\) và f(0) = 8

Tính các tính phân sau

a) \(\int \limits_0^1 \frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(\int \limits_0^1 \frac{{dx}}{{{x^2} + x + 1}}\)

c) \(\int \limits_0^1 {x^2}{e^x}dx\)

Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) y + x² = 0 và y + 3x² = 2

b) y² – 4x = 4 và 4x – y = 16

a) Cho hình thang cong A giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 1.

Tính thể tích của khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục hoành.

b) Cho hình phẳng B giới hạn bởi parabol y = x² + 1 và đường thẳng y = 2.

Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay B quanh trục tung.

Cho các số phức z₁ = 1 + i; z₂ = 1 – 2i

Hãy tính và biểu diễn hình học các số phức:

\(z_1^2;{z_1}{z_2};2{z_1} - {z_2}:{z_1}\overline {{z_2}} ;\frac{{{z_2}}}{{\overline {{z_1}} }}\)

Tính 

a) \({{{(\sqrt 3  + i)}^2} - {{(\sqrt 3  - i)}^2}}\)

b) \({{{(\sqrt 3  + i)}^2} + {{(\sqrt 3  - i)}^2}}\)

c) \({{{(\sqrt 3  + i)}^3} - {{(\sqrt 3  - i)}^3}}\)

d) \({\frac{{{{(\sqrt 3  + i)}^2}}}{{{{(\sqrt 3  - i)}^2}}}}\)

a) Xác định phần thực của số phức \(\frac{{z + 1}}{{z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1

b) Chứng minh rằng nếu \(\frac{{z + 1}}{{z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1

Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \((1 + i\sqrt 3 )z + 2\)

Trong đó |z – 1| ≤ 2

Tìm các căn bậc hai của các số phức

- 8 + 6i; 3 + 4i; \(1 - 2\sqrt 2 i\)

Giải các phương trình sau trên C

a) z² – 3z + 3 + i = 0

b) \({z^2} - (cos\varphi  + i\sin \varphi )z + i\sin \varphi \cos \varphi  = 0\)

trong đó \(\varphi\) là số thực cho trước

Tính:

\({(\frac{{4i}}{{1 + i\sqrt 3 }})^6};\frac{{{{(\sqrt 3  + i)}^5}}}{{{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}}\)

Hàm số \(f(x) = {e^{\frac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 3x + 1}}\)

(A) Đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ,1)\) và \((3, + \infty )\)$$

(B) Nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ,1)\)$$ và \((3, + \infty )\)$$

(C) Đồng biến trên khoảng \(( - \infty ,1)\)$$ và nghịch biến trên khoảng \((3, + \infty )\)

(D) Nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ,1)\) và đồng biến trên khoảng \((3, + \infty )\)$$

Hàm số f(x) = sin²x – 2sinx có giá trị nhỏ nhất là:

(A) \( - \frac{1}{2}\)

(B) 0

(C) -1

(D) \( - \frac{1}{3}\)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + x} \). Khi đó

(A) Đường thẳng y = x + 1 là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \))

(B) Đường thẳng y=x+12$y=x+\frac{1}{2}$ là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \))

(C) Đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của (C) (khi \(x \to  + \infty \))

(D) Đồ thị (C) không có tiệm cận xiên (khi \(x \to  + \infty \))

Đồ thị của hàm số y = x³ – x + 1 tiếp xúc với điểm (1, 1) với

(A) Parabol y = 2x² -1

(B) Parabol y = x²

(C) Parabol y = - x² + 2x

(D) Đường thẳng y = 2x + 1

Cho hai số dương a và b. Đặt 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{X = \ln \frac{{a + b}}{2}}\\
{Y = \frac{{\ln a + \ln b}}{2}}
\end{array}} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Cho hai số không âm a và b.

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}
X = {e^{\frac{{a + b}}{2}}}\\
Y = \frac{{{e^a} + {e^b}}}{2}
\end{array} \right.\)

Khi đó:

(A) X > Y

(B) X < Y

(C) X ≥ Y

(D) X ≤ Y

Cho (C) là đồ thị của hàm số y = log₂x. Ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = log₂2(x + 3) bằng cách tịnh tiến (C) theo vectơ:

A. \({\vec v = (3,1)}\)

B. \({\vec v = (3,-1)}\)

C. \({\vec v = (-3,1)}\)

D. \({\vec v = (-3,-1)}\)

Cho hàm số f(x) = log₅(x² + 1). Khi đó:

(A) \(f'(1) = \frac{1}{{2\ln 5}}\)

(B) \(f'(1) = \frac{1}{{\ln 5}}\)

(C) \(f'(1) = \frac{3}{{2\ln 5}}\)

(D) \(f'(1) = \frac{2}{{\ln 5}}\)

Biết rằng đồ thị của hàm số y = ax và đồ thị của hàm số y = log_bx cắt nhau tại điểm \(\left( {\sqrt {{2^{ - 1}}} ;\sqrt 2 } \right)\). Khi đó 

(A) a > 1 và b > 1

(B) a > 1 và 0 < b < 1

(C) 0 < a < 1 và b > 1

(D) 0 < a < 1 và 0 < b < 1

Cho hàm số \(f(x) = \frac{{2{x^4} + 3}}{{{x^2}}}\). Khi đó

(A) \(\int \nolimits^ f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} - \frac{3}{x} + C\)

(B) \(\int \nolimits^ f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{x} + C\)

(C) \(\int \nolimits^ f(x)dx = 2{x^3} - \frac{3}{x} + C\)

(D) \(\int \nolimits^ f(x)dx = \frac{{2{x^3}}}{3} + \frac{3}{{2x}} + C\)

Đẳng thức \(\int \limits_0^a \cos (x + {a^2})dx = \sin a\) xảy ra nếu:

(A) \(a=\pi \)

(B) \({a = \sqrt \pi  }\)

(C) \({a = \sqrt {3\pi } }\)

(D) \({a = \sqrt {2\pi } }\)

Gọi S là tập hợp các số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện:

\(\int \limits_1^e \ln \frac{k}{x}dx < e - 2\)

Khi đó:

(A) S = {1}

(B) S = {2}

(C) S = {1, 2}

(D) S = Ø

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức

\(\alpha  = {z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\beta  = z.\bar z + i\left( {z - \bar z} \right).\)

Khi đó:

A. α là số thực, β là số thực.

B. α là số thực, β là số ảo.

C. α là số ảo, β là số thực.

D. α là số ảo, β là số ảo.

Cho số phức z tùy ý. Xét các số phức 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\alpha  = \frac{{{i^{2005}} - i}}{{\bar z - 1}} - {z^2} + {{(\bar z)}^2}}\\
{\beta  = \frac{{{z^3} - z}}{{z - 1}} + {{(\bar z)}^2} + \bar z}
\end{array}} \right.\)

Khi đó:

(A) α là số thực, β là số thực

(B) α là số thực, β là số ảo

(C) α là số ảo, β là số thực

(D) α là số ảo, β là số ảo

Nếu môđun của số phức z bằng r (r > 0) thì môdn của số phức (1 – i)²z bằng:

(A) 4r

(B) 2r

(C) \(r\sqrt 2 \)

(D) r

a) Xác định a, b, c, d để đồ thị của các hàm số:

y = x² + ax + b và y = cx + d

cùng đi qua hai điểm M(1; 1) và B(3; 3).

b) Vẽ đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị a, b, c và d tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trên.

c) Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên quay quanh trục hoành.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: \(y = \frac{{ - x + 2}}{{x + 2}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết nó vuông góc với đường thẳng \(y = \frac{1}{4}x - 42\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{4x - 5}}{{x - 1}}\)

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiếp tuyến của (C) tại A(2; 3) và đường thẳng x = 4.

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{5x + 3}}{{ - x + 2}}\)

b) \(y = \frac{{ - 6x + 2}}{{x - 1}}\)

c) \(y = \frac{{2{x^2} + 8x - 9}}{{3{x^2} + x - 4}}\)

d) \(y = \frac{{x + 2}}{{ - 2x + 5}}\)

Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + 15x + 1\)

b) \(y = {x^2}\sqrt {{x^2} + 2} \)

c) \(y = x + \ln (x + 1)\)

d) \(y = x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

Tìm \(a \in (0;2\pi )\) để hàm số

\(y = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}(1 + 2\cos a){x^2} + 2x\cos a + 1\)

 đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\)

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) \({e^x} + \cos x \ge 2 + x - \frac{{{x^2}}}{2},\forall x \in R\)

b) \({e^x} - {e^{ - x}} \ge 2\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ),\forall x \ge 0\)

c) \(8{\sin ^2}\frac{x}{2} + \sin 2x > 2x,\forall x \in (0;\pi ]\)$$

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau trên các khoảng, đoạn tương ứng:

a) g(x) = |x³ + 3x² – 72x + 90| trên đoạn [-5; 5]

b) f(x) = x⁴ – 4x² + 1 trên đoạn [-1; 2]

c) f(x) = x – ln x + 3 trên khoảng (0;+∞)

Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - (m - 1){x^2} + (m - 3)x + 4\frac{1}{2}\)

(m là tham số) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(A(0;4\frac{1}{2})\)

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.

d) Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng \(y =  - 3x + 4\frac{1}{2}\) tại ba điểm phân biệt.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{4x + 4}}{{2x + 1}}\)$\frac{\mathrm{}}{}$

b) Từ (C) suy ra đồ thị của hàm số \(y = |\frac{{4x + 4}}{{2x + 1}}|\)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y =  - \frac{1}{4}x - 3\)

Cho hàm số \(y = \frac{{(2 + m)x + m - 1}}{{x + 1}}\) (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b) Xác định các điểm có tọa độ nguyên trên đồ thị của (1) khi \(m \in Z\)

Hãy biểu diễn:

a) \({\log _{30}}8\) qua \({\log _{30}}3\) và \(b = {\log _{30}}5\)

b) \({\log _9}20\) qua \(a = \log 2\) và \(b = \log 3\)