Bài tập 21 trang 197 SGK Toán 12 NC

Bài tập 21 trang 197 SGK Toán 12 NC

a) Nhận xét:

\( - 2i = {(1 - i)^2} \Rightarrow  - i = {\left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 2 }}} \right)^2}\)

Suy ra –i có căn bậc hai \( \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
({z^2} + i)({z^2} - 2iz - 1) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} + i = 0}\\
{{z^2} - 2iz - 1 = 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
*{z^2} + i = 0 \Leftrightarrow {z^2} =  - i\\
 \Leftrightarrow z =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
*{z^2} - 2iz - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {z - i} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow z = i
\end{array}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {i;\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right); - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)} \right\}\)

b) Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình 

Theo giả thiết tổng bình phương hai nghiệm bằng 8 nên ta có: \(z_1^2 + z_2^2 = 8\)

Theo định lí Vi-et ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{z_1} + {z_2} =  - B}\\
{{z_1}.{z_2} = 3i}
\end{array}} \right.}\\
\begin{array}{l}
z_1^2 + z_2^2 = 8\\
 \Leftrightarrow {({z_1} + {z_2})^2} - 2{z_1}.{z_2} = 8
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {{( - B)}^2} - 2.3i = 8}\\
{ \Leftrightarrow {B^2} = 8 + 6i}\\
{ \Leftrightarrow {B^2} = 9 + 2.3.i + {i^2}}\\
{ \Leftrightarrow {B^2} = {{(3 + i)}^2}}\\
{ \Leftrightarrow B =  \pm (3 + i)}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12