Bài tập 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Bài tập 11 trang 147 SGK Giải tích 12

Phương pháp:

Cách đặt khi tính tích phân từng phần của một số hàm thường gặp:

• Dạng 1: \(\int {P(x).{e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,,\,\,\int {P(x)\sin ({\rm{ax}} + b)dx\,,\,\int {P(x)c{\rm{os}}({\rm{ax}} + b)dx} } }\)

Cách giải: Đặt \(u = P(x)\,,\,dv = {e^{{\rm{ax}} + b}}dx\,\) hoặc \(dv = \sin (ax + b)dx,\,\,dv = \cos (ax + b)dx.\)

• Dạng 2: \(\int {P(x)\ln ({\rm{ax}} + b)dx}\)

Cách giải: Đặt \(u = \ln ({\rm{ax}} + b)\,,\,dv = P(x)dx.\)

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c, d bài 11 như sau:

Câu a:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=lnx\\ dv=\sqrt{x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ \\ v=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \end{matrix}\right.\)

\(\int_{1}^{e^4}\sqrt{x}lnxdx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}lnx\bigg |^{e^4}_1- \frac{2}{3}\int_{1}^{e^4}x^{\frac{1}{2}}dx\)

\(=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}lnx \bigg |^{e^4}_1 -\frac{4}{9}\sqrt{x^3}\bigg |^{e^4}_1= \frac{4}{9}(5e^4+1)\).

Câu b:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x\\ \\ dv=\frac{1}{sin^2x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=-dx\\ v=-cot x \end{matrix}\right.\)

\(\int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{xdx}{sin^2x}=-xcot x \bigg|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}+ \int_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} \frac{cosx}{sinx}dx\)

\(=-xcot x \bigg|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}+ ln\left | sinx \right | \bigg|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} =\frac{\pi \sqrt{3}}{6}+ln2\).

Câu c:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=\pi -x\\ dv=sinxdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=-dx\\ v=-cosx \end{matrix}\right.\)

\(\int_{0}^{\pi }(\pi -x)sinx dx=-(\pi -x)cosx \bigg |^{\pi }_0-\int_{0}^{\pi }cosxdx\)

\(=-(\pi-x)cos \bigg |^{\pi }_0-sinx\bigg |^{\pi }_0=\pi\).

Câu d:

Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=2x+3\\ dv=e^{-x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=2dx\\ v=-e^{-x} \end{matrix}\right.\)

\(\int_{-1}^{0}(2x+3)e^{-x}dx=(-2x+3)e^{-x} \bigg |^0_{-1}+2\int_{-1}^{0}e^{-x}dx\)

\(= -(2x+3)e^{-x}\bigg |^0_{-1}-2e^{-x}\bigg |^0_{-1}=3e-5\).

-- Mod Toán 12