Bài tập 3 trang 211 SGK Toán 12 NC

Bài tập 3 trang 211 SGK Toán 12 NC

Giả sử M(x0, lnx0) ∈ (C) (x0 > 0 )

Ta có: \(y' = \frac{1}{x}\)

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

\(y = \frac{1}{{{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0}\)

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x\\
 \Leftrightarrow \frac{x}{{{x_0}}} - 1 - \ln \frac{x}{{{x_0}}} \ge 0
\end{array}\)

Đặt \(t = \frac{x}{{{x_0}}} > 0\)

Xét hàm số \(g(t) = t-\ln t\) với t > 0

\(\begin{array}{l}
g' = 1 - \frac{1}{t} = \frac{{t - 1}}{t}\\
g' = 0 \Leftrightarrow y = t = 1
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) \ge 1\) với mọi \(t \in (0, + \infty )\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0\\
 \Rightarrow \frac{x}{{{x_0}}} - 1 - \ln \frac{x}{{{x_0}}} \ge 0,\forall x > 0
\end{array}\)

Vậy trên \((0; + \infty )\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D).

-- Mod Toán 12