Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 191 SGK Toán 12 NC
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện
a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)
b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.
a) Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{z + i}}{{z - i}} = \frac{{x + (y + 1)i}}{{x + (y - 1)i}}\\
= \frac{{[x + (y + 1)i][x - (y - 1)i]}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}
\end{array}\\
{ = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}i}
\end{array}\)
Vậy phần thực là \(\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\), phần ảo là \(\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\)
b) Với z khác i, \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{x^2} + {y^2} - 1 > 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{y^2} > 1}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y > 1}\\
{y < - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối I, J (I biểu diễn i và J biểu diễn −i).
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247