Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 199 SGK Toán 12 NC
a) Dùng công thức cộng trong lượng giác để chứng minh rằng với mọi số thực φ, ta có (cosφ + isinφ)2=cos2φ + isin2φ.
Từ đó hãy tìm mọi căn bậc hai của số phức cos2φ + isin2φ. Hãy so sánh cách giải này với cách giải trong bài học ở bài 2.
b) Tìm các căn bậc hai của \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {1 - i} \right)\) bằng hai cách nói ở câu a).
a) Với mọi φ ta có:
(cosφ + isinφ)2 = cos2φ−sin2φ+(2sinφcosφ)i
= cos2φ+isin2φ
Vậy các căn bậc hai của cos2φ + isin2φ là ±(cosφ + isinφ)
Theo cách giải trong bài học, để tìm căn bậc hai của cos2φ + isin2φ ta giải hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - {y^2} = \cos 2\varphi \\
2xy = \sin 2\varphi
\end{array} \right.\)
Rõ ràng hệ có các nghiệm (cosφ, sinφ), (−cosφ, −sinφ) do đó ±(cosφ + isinφ) là hai căn bậc hai của cos2φ + isin2φ. Ta biết rằng chỉ có hai căn như thế nên đó là tất cả các căn bậc hai cần tìm.
b)
\(\begin{array}{l}
\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i) = \cos \frac{\pi }{4} - i\sin \frac{\pi }{4}\\
= \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)
\end{array}\)
theo câu a, \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 - i)\) có hai căn bậc hai là:
\(\begin{array}{l}
\pm \left( {\cos \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{8}} \right)} \right)\\
= \pm \left( {\cos \frac{\pi }{8} - i\sin \frac{\pi }{8}} \right)
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247