Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.23 trang 16 SBT Toán 12

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y′ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.  Ta có:
\(y' = 3{x^2} - 2mx + \left( {m - \frac{2}{3}} \right)\)
Xét y′ = 0, ta có: \({\rm{\Delta '}} = {m^2} - 3\left( {m - \frac{2}{3}} \right) = {m^2} - 3m + 2\)
Δ′ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2      (*)
Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì
\(y'\left( 1 \right) = 3 - 2m + m - \frac{2}{3} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{3}\) (thỏa mãn điều kiện (*))
Với \(m = \frac{7}{3}\) thì hàm số đã cho trở thành
\({y = {x^3} - \frac{7}{3}{x^2} + \frac{5}{3}x + 5}\)
Ta có 
\({y' = 3{x^2} - \frac{{14}}{3}x + \frac{5}{3};\,\,y'' = 6x - \frac{{14}}{3}}\)
Vì \(y''\left( 1 \right) = 6 - \frac{{14}}{3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = \frac{{16}}{3}\)${\displaystyle \frac{\mathrm{.}}{}}$

-- Mod Toán 12