Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 12 NC
Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1
Ta có: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\)
f đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nên f'(0) = 0 => c = 0
f(0) = 0 ⇒ d = 0.
Vậy \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2}\)
f đạt cực đại tại điểm x = 1 nên f′(1) = 0 => 3a + 2b = 0
f(1) = 1 ⇒ a + b = 1
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3a + 2b = 0}\\
{a + b = 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = - 2}\\
{b = 3}
\end{array}} \right.\)
Thử lại với a = −2, b = 3, c = d = 0 ta được:
\(f\left( x \right) = - 2{x^3} + 3{x^2},f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6x,f''\left( x \right) = - 12x + 6\)
f''(0) = 6 > 0: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; f(0) = 0; f′′(1) = − 6 < 0
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1; f(1) = 1
Vậy a = −2; b = 3 ; c = d = 0
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247