Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: D = R  \ {1}

\(y\prime  = 1 + \frac{2}{{{{(x - 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty \)

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( {y - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left( { - \frac{2}{{x - 1}}} \right) = 0\)

Vậy y = x là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên 

Đồ thị giao Ox tại (−1;0), (2;0)

Đồ thị giao Oy tại (0;2)

b) Ta có: \(y' = 1 + \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm \(M({x_o};{y_o}) \in (C)\)

\(\begin{array}{l}
(d):y - {x_o} + \frac{2}{{{x_o} - 1}}\\
 = \left[ {1 + \frac{2}{{{{({x_o} - 1)}^2}}}} \right](x - {x_o})(x \ne 1)
\end{array}\)

Vì (3; 3) thuộc đường thẳng d nên 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
3 - {x_o} + \frac{2}{{{x_o} - 1}}\\
 = \frac{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {{x_o} - 1} \right)}^2}}}\left( {3 - {x_o}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {3 - {x_o}} \right){\left( {{x_o} - 1} \right)^2} + 2\left( {{x_o} - 1} \right)\\
 = \left( {{x_o} - 2{x_o} + 3} \right)\left( {3 - {x_o}} \right)
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow {x_o} = 2;{y_o} = y\left( 2 \right) = 0}\\
{y'\left( 2 \right) = 3}
\end{array}\)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 2) hay y = 3x - 6

-- Mod Toán 12