Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC
Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc α ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.
\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y = - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \)
(g là gia tốc trọng trường).
Chứng minh rằng với mọi \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),({\gamma _\alpha })\) luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: \(y = - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn).
Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
- \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \\
= - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}
\end{array}\\
{ - \frac{g}{{v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha = - \frac{g}{{v_o^2}}x}
\end{array}} \right.\)
Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là:
\(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\)
Ta có: \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là:
\(\begin{array}{l}
y = - \frac{g}{{2v_o^2}}{\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}} \right)^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\\
= \frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} \right)
\end{array}\)
Điểm \(\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }};\frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\)
là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247