Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12

Bài tập 7 trang 45 SGK Giải tích 12

Câu a:

y = x³ + 3x² + 1

1) Tập xác định: D = R

2) Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

\(y' = 3{x^2} + 6x,y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0\)

\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=-2\\ x=0 \end{matrix}\)

Xét dấu y': 

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-2)\) và \((0;+\infty )\), nghịch biến trên khoảng (-2;0).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại y_CĐ = y(0) = 1; đạt cực tiểu tại x = -2, giá trị cực tiểu y_CT = y(-2) = 5.

Giới hạn:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 1) =  - \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + 3{x^2} + 1) =  + \infty 
\end{array}\)

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị:

Ta có: y'' = 6x+6, y'' = 0 ⇔ x = - 1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (-1;3) làm tâm đối xứng.

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0;1).

Với x = -3 ⇒ y = 1

Với x = 1 ⇒ y = 5. 

Câu b:

Số nghiệm của phương trình \(x^3+3x^2+1=\frac{m}{2} (*)\) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng \(y=\frac{m}{2}\).

Dựa vào đồ thị trên ta có:

+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}
\frac{m}{2} > 5\\
\frac{m}{2} < 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}
{m > 10}\\
{m < 2}
\end{array}\) thì (*) có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(\left[ \begin{array}{l}
\frac{m}{2} = 5\\
\frac{m}{2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow [\begin{array}{*{20}{c}}
{m = 10}\\
{m = 2}
\end{array}\) thì (*) có hai nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(1< \frac{m}{2}< 5\Leftrightarrow 2< m< 10\)  thì (*) có ba nghiệm phân biệt.

Câu c:

Trong mặt phẳng, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B có tọa độ cho trước là:

\(\frac{{y - {y_B}}}{{{y_A} - {y_B}}} = \frac{{x - {x_B}}}{{{x_A} - {x_B}}}.\)

Từ câu a ta có điểm cực đại của đồ thị là (-2;5), điểm cực tiểu là (0;1). Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

\(\begin{array}{l}
\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{{1 - 5}}\\
 \Leftrightarrow  - 2x + 1 = y\\
 \Leftrightarrow y =  - 2x + 1
\end{array}\)

-- Mod Toán 12