Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC

Bài tập 9 trang 9 SGK Toán 12 NC

Hàm số f(x) = sin x + tan x – 2x liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm  

\(f'(x) = \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2\)

Vì \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) nên 0 < cosx < 1 => cos x > cos2 x

\( \Rightarrow \cos x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > {\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 2 > 0\)

(vì \({\cos ^2}x + \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} > 2\) với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó f'(x) > 0  với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Suy ra hàm số f đồng biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Khi đó ta có f(x) > f(0) = 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) tức là sinx + tanx > 2x với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

-- Mod Toán 12