Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC

Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: D = [-2; 2]

\(\begin{array}{l}
y' = \sqrt {4 - {x^2}}  + x.\frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\\
 = \frac{{4 - {x^2} - {x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}
\end{array}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 2 \)

\(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2;y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2\)

Bảng biến thiên 

• Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x =  - \sqrt 2 \), giá trị cực tiểu \(y\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 2\)
• Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = \sqrt 2 \), giá trị cực tiểu \(y\left( { \sqrt 2 } \right) =  2\)

b) TXĐ: \(D = \left[ { - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right]\)

\(y' = \frac{{ - x}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\)

y' = 0 ⇔ x = 0, \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

Bảng biến thiên 

• Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0, giá trị cực đại \(y\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \)

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: D = R

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y' = 1 - 2\cos 2x;y' = 0\\
 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi }{3}
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z}
\end{array}\)

y'' = 4sin2x

Ta có:

* \(y''\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) =  - 2\sqrt 3  < 0\)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x =  - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\); giá trị cực đại \(y\left( { - \frac{\pi }{6} + k\pi } \right) =  - \frac{\pi }{6} + k\pi  + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)

* \(y''\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3  > 0\)

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), giá trị cực tiểu \(y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right) = \frac{\pi }{6} + k\pi  - \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 2\)

d) \(y' = 2\sin x + 2\sin 2x = 2\sin x(1 + 2\cos x)\)

\(\begin{array}{l}
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = 0}\\
{\cos x =  - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi }\\
{x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi }
\end{array}} \right.,k \in Z
\end{array}\)

\(y'' = 2\cos x + 4\cos 2x\)

* \(y''\left( {k\pi } \right) = 2\cos k\pi  + 4\cos 2k\pi  = 2\cos k\pi  + 4 > 0,\forall k \in Z\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), giá trị cực tiểu:

\(y\left( {k\pi } \right) = 3 - 2\cos k\pi  - \cos 2k\pi  = 2 - 2\cos k\pi \)

\(\begin{array}{l}
*y''\left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right)\\
 = 2\cos \frac{{2\pi }}{3} + 4\cos \frac{{2\pi }}{3}\\
 = 6\cos \frac{{2\pi }}{3} =  - 3 < 0
\end{array}\)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm \(x =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi ,k \in Z\), giá trị cực đại 

\(\begin{array}{l}
y\left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right)\\
 = 3 - 2\cos \frac{{2\pi }}{3} - \cos \frac{{4\pi }}{3} = \frac{9}{2}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12