Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 22 SGK Toán 12 NC
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]
b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]
c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)
d) \(f\left( x \right) = - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]
e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]
f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]
a) \(D = [ - 2;3];f\prime (x) = 2x + 2\)
\(f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \in [ - 2;3]\)
Ta có: f(-2) = -5; f(-1) = - 6; f(3) = 10
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = - 6;\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 2;3} \right]} f\left( x \right) = 10\)
b)
\(\begin{array}{l}
D = [ - 4;0];f\prime (x) = {x^2} + 4x + 3\\
f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 1 \in [ - 4;0]}\\
{x = - 3 \in [ - 4;0]}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f( - 4) = - \frac{{16}}{3};f( - 1) = - \frac{{16}}{3};\\
f( - 3) = - 4;f(0) = - 4
\end{array}\)
Vậy
\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} f\left( x \right) = - \frac{{16}}{3};\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 4;0} \right]} f\left( x \right) = - 4\)
c) \(D = (0; + \infty )\)
\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}(x \ne 0),\\
f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
x = 1 \in [0; + \infty )\\
x = - 1 \notin [0; + \infty )
\end{array}\)
Bảng biến thiên
.png)
\(\mathop {\min }\limits_{x \in \left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 2\)
Hàm số không đạt GTLN trên khoảng \({\left( {0; + \infty } \right)}\)
d) \(D = [2;4]\)
\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = - 2x + 2\\
f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin [2;4]
\end{array}\)
Ta có: f(2) = 4; f(4) = -4
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = - 4;\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = 4\)
e) \(D = [0;1];f\prime (x) = \frac{{2{x^2} + 8x + 6}}{{{{(x + 2)}^2}}}\)
\(f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 1 \notin [0;1]}\\
{x = - 3 \notin [0;1]}
\end{array}} \right.\)
Ta có: \(f(0) = 2;f(1) = \frac{{11}}{3}\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} f(x) = 2;\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;1} \right]} f(x) = \frac{{11}}{3}\)
f) \(D = (0;2];f\prime (x) = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} > 0\)
với mọi \(x \in (0;2];f(2) = \frac{3}{2}\)
Bảng biến thiên
.png)
\(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0;2} \right]} f(x) = \frac{3}{2}\)
Hàm số không đạt GTNN trên (-; 2]
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247