Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12

Bài tập 1.20 trang 16 SBT Toán 12

a) y = sin2x
Hàm số có chu kì \(T = \pi \)
Xét hàm số y = sin2x trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\), ta có:
\(\begin{array}{l}
y' = 2\cos 2x\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4}\\
x = \frac{{3\pi }}{4}
\end{array} \right.
\end{array}\)
Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)$$, hàm số đạt cực đại tại \(\frac{\pi }{4}\), đạt cực tiểu tại \(\frac{{3\pi }}{4}\) và:

\(\begin{array}{l}
{y_{{\rm{CD}}}} = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1;\\
{y_{CT}} = y\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) =  - 1
\end{array}\)
Vậy trên R ta có:
\({y_{{\rm{CD}}}} = y\left( {\frac{\pi }{4} + k\pi } \right) = 1;\)

\({y_{CT}} = y\left( {\frac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) =  - 1,\,k \in Z\)
b) \(y = \cos x - \sin x\). Hàm số tuần hoàn chu kì \(2\pi \) nên ta xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)
\(\begin{array}{l}
y' =  - \sin x - \cos x\\
y' = 0 \Leftrightarrow \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z
\end{array}\)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\)

Hàm số đạt cực đại tại \(y =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi \), đạt cực tiểu tại \(y = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\) và

\(\begin{array}{l}
{y_{{\rm{CD}}}} = y\left( { - \frac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = \sqrt 2 \\
{y_{CT}} = y\left( {\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi } \right) =  - \sqrt 2 \left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)
c) Ta có \(y = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\)
Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn theo chu kì \(\pi \). Ta xét hàm số \(y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)
\(\begin{array}{l}
y' = \sin 2x\\
y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)
Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k\frac{\pi }{2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k\frac{\pi }{2}\) với k lẻ, và \({y_{CT}} = y\left( {2m\pi } \right) = 0;\,\,{y_{{\rm{CD}}}} = y\left( {\left( {2m + 1} \right)\frac{\pi }{2}} \right) = 1\,\,\left( {m \in Z} \right)\)

-- Mod Toán 12