Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12

Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12

a) TXĐ: \(R\backslash \left\{ { - \frac{{3m}}{2}} \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 2x - 3m - 2\left( {4 - x} \right)}}{{{{\left( {2x + 3m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3m - 8}}{{{{\left( {2x + 3m} \right)}^2}}}\)

+) Nếu \(m <  - \frac{8}{3}\) thì y′ > 0, hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{3m}}{2}} \right);\left( { - \frac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\)

+) Nếu \(m >  - \frac{8}{3}\) thì y′ < 0, hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{3m}}{2}} \right);\left( { - \frac{{3m}}{2}; + \infty } \right)\) 

+) Nếu \(m =  - \frac{8}{3}\) thì \(y =  - \frac{1}{2}\) khi \(x \ne 4\).

b) Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{4 - x}}{{2x + 3m}} =  - \frac{1}{2}\)

Nên với mọi m, đường thẳng \(y =  - \frac{1}{2}\) luôn là tiệm cận ngang và đi qua điểm \(B\left( { - \frac{7}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\)

c) Số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất là số nghiệm của phương trình 

\(\begin{array}{l}
\frac{{4 - x}}{{2x + 3m}} = x \Leftrightarrow 4 - x = 2{x^2} + 3mx\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {3m + 1} \right)x - 4 = 0\,\,( * )
\end{array}\)

Thay \(x =  - \frac{{3m}}{2}\) vào (*), ta có:

\(\begin{array}{l}
2{\left( { - \frac{{3m}}{2}} \right)^2} - \frac{{9{m^2}}}{2} - \frac{{3m}}{2} - 4\\
 = \frac{{9{m^2}}}{2} - \frac{{9{m^2}}}{2} - \frac{{3m}}{2} - 4 \ne 0\\
 \Rightarrow m \ne  - \frac{8}{3}
\end{array}\)

Như vậy để \(x \ne  - \frac{{3m}}{2} \Rightarrow m \ne  - \frac{8}{3}\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {3m + 1} \right)^2} + 32 > 0,\,\forall m\). Từ đó suy ra với \(m \ne  - \frac{8}{3}\) đường thẳng y = x luôn cắt  tại hai điểm phân biệt

d) Ta có: 

\(\left| {\frac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{4 - x}}{{2x + 3}},x \in \left( { - \frac{3}{2};4} \right)}\\
{\frac{{x - 4}}{{2x + 3}},x \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)}
\end{array}} \right.\)

Ta vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{4 - x}}{{2x + 3}}\)

TXĐ: \(R\backslash \left\{ { - \frac{3}{2}} \right\}\)

\(y' = \frac{{ - 11}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne  - \frac{3}{2}\) nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right);\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\)

Bảng biến thiên

Tiệm cận đứng \(x =  - \frac{3}{2}\)

Tiệm cận ngang \(y =  - \frac{1}{2}\)

Đồ thị

Để vẽ đồ thị (C’) ta giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

-- Mod Toán 12