Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12

a) TXĐ: D = R∖{3}

Có \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne 3\) nên hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (−∞;3) và (3;+∞)

Hàm số đã cho không có cực trị.

TCĐ: x = 3 và TCN y = 1.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.

Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1

Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3;1).

Thực hiện phép biến đổi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = X + 3}\\
{y = Y + 1}
\end{array}} \right.\) ta được \(Y + 1 = \frac{{X + 5}}{X} \Leftrightarrow Y = \frac{{X + 5}}{X} - 1 \)

\(\Leftrightarrow Y = \frac{5}{X}\).

Vì Y = 5X là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.

Vậy đồ thị hàm số đã cho nhận điểm I(3;1) làm tâm đối xứng trong hệ tọa độ cũ.

c) Giả sử  M(x₀;y₀) ∈ (C)

Gọi d₁ là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d₂ là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có: \({d_1} = \left| {{x_0} - 3} \right|,{d_2} = \left| {{y_0} - 1} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 3} \right|}}\)

Suy ra: 

\(\begin{array}{l}
\left| {{x_0} - 3} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 3} \right|}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 3} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} - 3 = \sqrt 5 }\\
{{x_0} - 3 =  - \sqrt 5 }
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_0} = 3 + \sqrt 5 }\\
{{x_0} = 3 - \sqrt 5 }
\end{array}} \right.\)

+ Với \({x_0} = 3 + \sqrt 5  \Rightarrow {y_0} = 1 + \sqrt 5 \) nên ta có điểm \(M\left( {3 + \sqrt 5 ;1 + \sqrt 5 } \right)\)

+ Với \({x_0} = 3 - \sqrt 5  \Rightarrow {y_0} = 1 - \sqrt 5 \) nên ta có điểm \(M\left( {3 - \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right)\)

Vậy có hai điểm:

\({M_1}\left( {3 + \sqrt 5 ;1 + \sqrt 5 } \right)\);

\({M_2}\left( {3 - \sqrt 5 ;1 - \sqrt 5 } \right)\)

-- Mod Toán 12