Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12

Xét hàm \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) trên R.

Hàm số xác định và liên tục trên R.

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6mx = 6x\left( {x + m} \right);\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x =  - m}
\end{array}} \right.\)

+) Nếu m = 0 thì \(y' = 6{x^2} \ge 0,\forall x\) nên hàm số đồng biến trên R.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

+) Nếu m ≠ 0 thì phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇒ Hàm số có hai điểm cực trị.

Đẻ phương trình có nghiệm duy nhất thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + 3m{x^2} - 5\) có một giao điểm duy nhất với trục hoành \( \Leftrightarrow {y_{CD}}.{y_{CT}} > 0\)

Ta có: \({x_1} = 0,{x_2} =  - m \)

\(\Rightarrow {y_1} =  - 5,{y_2} = {m^3} - 5\)

\({y_1}.{y_2} =  - 5\left( {{m^3} - 5} \right) > 0 \)

\(\Leftrightarrow {m^3} - 5 < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt[3]{5}\)

Vậy \(m < \sqrt[3]{5}\)

Chọn B.

-- Mod Toán 12