Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12

Nhận xét và phương pháp giải:

Thực chất yêu cầu bài tập 3 là khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. Sau đó từ đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình cần tìm.

Số nghiệm của các phương trình đã cho chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) ở vế trái của phương trình cới trục hoành ở câu a, b và với đường thẳng y = -1 ở câu c.

Lời giải:

Câu a:

Xét hàm số \(y=x^3 - 3x^2 + 5\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3x² - 6x = 3x(x - 2); y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng (0;2).

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại y_CĐ = y(0) = 5; đạt cực tiểu tại x = 2, giá trị cực tiểu y_CT = y(2) = 1.

Đồ thị:

Tính đối xứng: y'' = 6x - 6; y'' = 0 ⇔ x = 1. Vậy đồ thị hàm số nhận điểm (1;3) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;5).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-1;1); (3;5).

Đồ thị của hàm số:

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\) có duy nhất một nghiệm.

Câu b:

Xét hàm số y = -2x³ + 3x² - 2

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = -6x^{2 +} 6x = -6x(x - 1); y' = 0 ⇔ x = 0,x = 1.

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = y(1) = -1, hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu y_CT = y(0) = -2.         

Đồ thị hàm số:

Tính đối xứng: 

\(y''=-12x+6;y''=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}.\) 

Nên tọa độ tâm đối xứng là \(I\left ( \frac{1}{2};-\frac{3}{2} \right ).\)

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (-1;3); (2;-6).

Đồ thị của hàm số:

Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\) có nghiệm duy nhất.

Câu c:

Xét hàm số y = f(x) = 2x² - 2x⁴

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty .\)

Sự biến thiên:

Đạo hàm: y' = 4x - 4x³ = 4x(1 - x²); y' = 0 ⇔ x = 0,x = ±1.  

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và (0;1); nghịch biến trên các khoảng (-1;0) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = y(-1) = y(1) = 1; đạt cực tiểu tại x = 0, giá trị cực tiểu y_CT = y(0) = 0.

Đồ thị:

Tính đối xứng: Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (0;0); \(\left( {-\sqrt 2;0 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 2;0 } \right)\); cắt truc Oy tại điểm (0;0).

Đồ thị của hàm số:

Đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y = - 1 như hình bên.

Từ đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

-- Mod Toán 12