Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12

Bài tập 1 trang 45 SGK Giải tích 12

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

- Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).

- Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

- Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.

- Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.

Tìm khoảng đơn điệu của các hàm số:

- Xét hàm số \(y=-x^3+2x^2-x-7\).

Tập xác định: D = R

\(y'=-3x^2+4x-1,y'=0\Leftrightarrow -3x^2+4x-1=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=1\\ x=\frac{1}{3} \end{matrix}\)

Xét dấu y':

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right);\left( {1; + \infty } \right)\)

- Xét hàm số \(y=\frac{x-5}{1-x}\).

Tập xác định: D = R \ {1}.

\(y'=\frac{1-x+x-5}{(1-x^2)^2}=\frac{-4}{(1-x)^2}<0 \ \ \ \forall x\in R \setminus \left \{ 1 \right \}\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty ;1)\) và \((1; +\infty )\)

-- Mod Toán 12