Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC

Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC

a) Hàm số f(x) = tanx − x liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1 > 0\forall x\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Từ đó:

\(\begin{array}{l}
f(x) > f(0),\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
 \Leftrightarrow \tan x - x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x - x - \frac{{{x^3}}}{3}\) liên tục trên khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm 

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x - 1}}\\
 = {\tan ^2}x - {x^2} > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

(suy ra từ câu a)

Do đó hàm số f đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và khi đó 

\(\begin{array}{l}
f(x) = f(0) = 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\\
 \Rightarrow \tan x > x + \frac{{{x^3}}}{3},\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 12