Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC

Bài tập 8 trang 8 SGK Toán 12 NC

a) Hàm số f(x) = x - sinx liên tục trên nửa khoảng \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và có đạo hàm f'(x) = 1 - cosx > 0 với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right)\), từ đó với mọi \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) ta có:

\(f(x) > f(0) = 0 \Rightarrow x - \sin x > 0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Với \(x \ge \frac{\pi }{2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\)

Vậy sinx < x với mọi x > 0

* Với mọi x < 0, áp dụng chứng minh trên ta có:

sin(-x) < - x ⇒ -sinx < -x ⇒ sinx > x

Vậy sinx > x với mọi x < 0

b) Hàm số \(g(x) = \cos x + \frac{{{x^2}}}{{2 - x}}\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm g'(x) = x - sinx

Theo câu a) g'(x) > 0 với mọi x > 0 nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có:

g(x) > g(0) = 0 với mọi x > 0, tức là \(\cos x + \frac{{{x^2}}}{2} - 1 > 0\) với mọi x > 0 hay \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x > 0 (1)

Với mọi x < 0 nên theo (1) ta có:

\(\cos ( - x) > 1 - \frac{{{{( - x)}^2}}}{2} \Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi x

Từ (1) và (2) suy ra \(\cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2}\) với mọi  \(x \ne 0\)

c) Hàm số \(h(x) = \sin x - x + \frac{{{x^3}}}{6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + \frac{{{x^2}}}{2} > 0\) với mọi x khác 0 (câu b)

Do đó h đồng biến trên R nên ta có:

\(h(x) > h(0) = 0,\forall x > 0\) và \(h(x) < h(0) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra: \(\sin x > x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x > 0

\(\sin x < x - \frac{{{x^3}}}{6}\) với mọi x < 0

-- Mod Toán 12