Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC

Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC

Đặt BM = x \(\left( {0 < x < \frac{a}{2}} \right)\)

Gọi H là trung điểm BC ta có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta BMQ = \Delta CNP \Rightarrow BM = NC = x \Rightarrow MN = a - 2x\)

QM // AH nên \(\frac{{QM}}{{AH}} = \frac{{BM}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow QM = \frac{{AH.BM}}{{BH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.x}}{{\frac{a}{2}}} = x\sqrt 3 \)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

\(\begin{array}{l}
S(x) = MN.QM\\
 = (a - 2x).x\sqrt 3  = \sqrt 3 (ax - 2{x^2})
\end{array}\)

Ta tìm giá trị lớn nhất của S(x) trên khoảng \(\left( {0;\frac{a}{2}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
S\prime (x) = \sqrt 3 (a - 4x);\\
S\prime (x) = 0\\
 \Leftrightarrow x = \frac{a}{4};S\left( {\frac{a}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^2}
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Vậy S(x) đạt GTLN tại điểm x = a/4 và GTLN của diện tích hình chữ nhật là: 

\(\mathop {\max S(x)}\limits_{x \in \left( {0;\frac{a}{2}} \right)}  = S\left( {\frac{a}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^2}\)

-- Mod Toán 12