Chương 3: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian

Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(2; -5; 3)\), \(\overrightarrow{b}=(0; 2; -1)\), \(\overrightarrow{c}=(1; 7; 2)\).

a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).

b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).

Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C'=(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Tính:

a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6),\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).

b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2),\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\).

b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\).

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)

b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\)và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\)

c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3).

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lập phương trình mặt phẳng :

a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);

b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);

c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(2 ; -1 ; 2) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình: 2x - y + 3z + 4 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua hai điểm A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng: 2x - y + z - 7 = 0. 

Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và  \(\small nx - 8y - 6z + 2 = 0\);

b) \(\small 3x - 5y + mz - 3 = 0\)  và  \(\small 2x + ny - 3z + 1 = 0\);

Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\);

b) \(\small 12x - 5z + 5 = 0\) ;

c) \(\small x = 0\).

Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) ;

b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\);

c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)                 

d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\)  và  \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)   và   \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\)     \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\) 

Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);

b) d:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\)  và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\) ;

c) d:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\)  và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\).

Tính khoảng cách giữa đường thẳng  ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).

Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\)   và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C). 

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Lập phương trình của mặt cầu (S).

c) Lập phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa AB và song song với CD.

Lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(2;-1;0)

b) Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=3-4t\\ z=-5t \end{matrix}\right.\)

Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

Cho điểm A(-1;2;-3), vecto \(\vec{a}=(6;-2;-3)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t \end{matrix}\right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa điểm A và vuông góc với \(\vec a.\)

b) Tìm giao điểm của d và (\(\alpha\)).

c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d.

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu

\((S): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)

và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix} x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t \end{matrix}\right.;d':\left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8 \end{matrix}\right.\)

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 11 = 0.

Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng \((\alpha )\): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \((\alpha )\).

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng: \(d:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=-3+t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.\)​

Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)​

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) \(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2}\)

(B) \(\left | \vec{c} \right |=\sqrt{3}\)

(C) \(\vec{a}\perp \vec{b}\)

(D) \(\vec{b}\perp \vec{c}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)​

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) \(\vec{a}.\vec{c}=1\)

(B) \(\vec{a},\vec{b}\) cùng phương

(C) \(cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{2}{\sqrt{6}}\)

(D) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)

Cho hình bình hành OADB có \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} =\overrightarrow{b}\) (O là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành OADB là: 

(A) (0; 1; 0)

(B) (1; 0; 0)

(C) (1; 0; 1)

(D) (1; 1; 0)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện

(B) Tam giác ABD là tam giác đều

(C) \(AB\perp CD\)

(D) Tam giác BCD là tam giác vuông.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:

(A) \(G\left ( \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right )\)

(B) \(G\left ( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right )\)

(C) \(G\left ( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right )\)

(D) \(G\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:

(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(B) \(\sqrt{2}\)

(C) \(\sqrt{3}\)

(D) \(\frac{3}{4}\)

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\vec{a}=(1;-2;3)\) và \(\vec{b}=(3;0;5)\).

Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:

(A) 5x - 2y - 3z - 21 = 0

(B) -5x + 2y + 3z + 3 = 0

(C) 10x - 4y - 6z + 21 = 0

(D) 5x - 2y - 3z + 21 = 0

Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

(A) 2x – 3y – 4z + 2 = 0

(B) 2x + 3y – 4z – 2 = 0

(C) 4x + 6y – 8z + 2 = 0

(D) 2x – 3y – 4z + 1 = 0

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm B'C' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A'. Tính thể tích của (H).

Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó.

a) Tính thể tích của hình nón theo r và h.

b) Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-1); B(7;-2;3) và đường thẳng d có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=-1+3t\\ y=2-2t\\ z=2+2t \end{matrix}\right.\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất.

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5 cm.

a) Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD).

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \(x^2+y^2+z^2=a^2 (a>0)\)

a) Tính diện tích của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu tương ứng.

b) Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn (C). Xác định tâm và bán kính của (C).

c) Tính diện tích xung quanh của hình trụ nhận (C) làm đáy và có chiều cao là \(a\sqrt{3}\). Tính thể tích của khối trụ tương ứng.

Trong không gian cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có phương trình

\(d_1:\left\{\begin{matrix} x=1-t\\ y=t\\ z=-t \end{matrix}\right.d_2:\left\{\begin{matrix} x=2t'\\ y=-1+t'\\ z=t' \end{matrix}\right.\)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d₁ và d₂ chéo nhau.

b) Viết phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) chứa d₁ và song song với d₂.

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1), B(3; 4; -2), C(4;-1;1), D(3; 0 ;3)

a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(2; 4; -1), B(1; 4; -1), C(2; 4; 3), D(2; 2; -1).

a) Chứng mỉnh rằng các đường thẳng AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Viết phương tình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

c) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song mặt phẳng (ABD).

Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \((d):\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=2+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.\) và mặt phẳng \((\alpha ):2x+y+z=0\)

a) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và \((\alpha )\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) qua A và vuông góc với (d).​

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(-1;2;0), B(-3;0;2), C(1;2;3), D(0;3;-2)

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và phương trình tham số của đường thẳng AD.

b) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa AD và song song với BC.

Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1) và D(-1;1;2) 

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

c) Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

\(d_1:\left\{\begin{matrix} x=-1+3t\\ y=1+2t\\ z=3-2t \end{matrix}\right.d_2:\left\{\begin{matrix} x=t'\\ y=1+t'\\ z=-3+2t' \end{matrix}\right.\)

a) Chứng minh d₁ và d₂ cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.​

Trong không gian cho ba điểm A,B,C

a) Xác định điểm G sao cho \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}-2\overrightarrow{GC}=\vec{0}\)

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA² + 2MB² - 2MC² = k², với k là hằng số.

Cho hai đường thẳng chéo nhau:

\(d:\left\{\begin{matrix} x=2-t\\ y=-1+t\\ z=1-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=2+2t'\\ y=t'\\ z=1+t' \end{matrix}\right.\)

a) Viết phương trình các mặt phẳng \((\alpha )\) và \((\beta )\) song song với nhau và lần lượt chứa d và d'.

b) Lấy hai điểm M(2; -1; 1) và M'(2; 0; 1) lần lượt trên d và d'. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng \((\beta )\) và khoảng cách từ M' đến mặt phẳng \((\alpha )\). So sánh hai khoảng cách đó.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 4x + y + 2z + 1 =0 và mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng \((\alpha )\) cắt \((\beta )\).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và \((\beta )\).

c) Tìm điểm M' là ảnh của M(4; 2; 1) qua phép đối xứng qua mặt phẳng \((\alpha )\).

d) Tìm điểm N' là ảnh của N(0; 2; 4) quá phép đối xứng qua đường thẳng d.

Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\vec a = (2; - 1;2),\vec b = (3;0;1),\vec c = ( - 4;1; - 1)\). Tìm tọa độ của các vecto \(\vec m\) và \(\vec n\) biết rằng:

a) \(\vec m = 3\vec a - 2\vec b + \vec c\)  

b) \(\vec n = 2\vec a + \vec b + 4\vec c\)

Trong không gian Oxyz cho vecto \(\vec a = (1; - 3;4)\).

a) Tìm y₀ và z₀ để cho vecto \(\vec b = (2;{y_0};{z_0})\) cùng phương với \(\vec a\)$\stackrel{}{}$

b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec c\) biết rằng \(\vec a\) và \(\vec c\) ngược hướng và \(|\overrightarrow {c|}  = 2|\vec a|\)

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x₀; y₀ ; z₀). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1)   ,   B = (0; 1; 2)    ,  C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1)   ,  N = (-4; 3; 1)    ,  P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)                                 

b) \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)                        

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\vec a,\vec b,\vec c\). Gọi \(\vec u = \vec a - 2\vec b,\vec v = 3\vec b - \vec c,{\rm{\vec w}} = 2\vec c - 3\vec a\).

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\vec u,\vec v,{\rm{\vec w}}\) đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\vec a\) tùy ý khác vecto \(\vec 0\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\vec a\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: "Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau".

Tính tích vô hướng của hai vecto \(\vec a,\vec b\) trong không gian với các tọa độ đã cho là:

a) \(\vec a = (3;0; - 6),\vec b = (2; - 4;c)\)

b) \(\vec a = (1; - 5;2),\vec b = (4;3; - 5)\)

c) \(\vec a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\vec b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )\)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(4; -1; 1)  , B(2; 1; 0)

b) A(2; 3; 4)  , B(6; 0; 4)

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: 

A(a; 0 ; 0),                  B(0; b; 0) ,                     C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;

c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)

Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 6x + 2y – 16z – 26 = 0 ;

b) 2x² + 2y² + 2z² + 8x – 4y – 12z – 100 = 0

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:

a) \((\alpha )\)$$ đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\vec n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến ;

b) \((\alpha )\)$$ đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\vec u = (0;1;1),\vec v = ( - 1;0;2)\) ;

c) \((\alpha )\)$$ đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)$$ đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)$$ đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0

\((\beta )\) : 2x + By + 6z + 7 = 0

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0

b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0

c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

           \((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0

            \((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

\((\beta )\) : 3x - 2y + 2z + 7 = 0

\((\gamma )\) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) \(({\alpha _1}):3x - 2y - 3z + 5 = 0,\) \((\alpha _1^\prime ):9x - 6y - 9z - 5 = 0\)

b) \(({\alpha _2}):x - 2y + z + 3 = 0,\) \((\alpha _2^\prime ):x - 2y - z + 3 = 0\)

c) \(({\alpha _3}):x - y + 2z - 4 = 0,\) \((\alpha _3^\prime ):10x - 10y + 20z - 40 = 0\)

Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 3z + 4 = 0

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\)$$ đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:

a)  \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec a = (3;3;1)\) ;

b)  \(\Delta \)$$ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) :  2x – y + z + 9 = 0

c)  \(\Delta \)$$ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): y +2z = 0 và cắt hai đường thẳng d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = 4t
\end{array} \right.\) và d₂: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t'}\\
{y = 4 + 2t'}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 9 + 2t'}\\
{y = 8 + 2t'}\\
{z = 10 - 2t'}
\end{array}} \right.\)

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - t\\
y = 3t\\
z =  - 1 - 2t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 9}\\
{z = 5t'}
\end{array}} \right.\)

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = at\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t'}\\
{y = a + 4t'}\\
{z = 2 - 2t'}
\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0  

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\)

Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng \(\Delta \)$$ song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\).

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:

a) \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y =  - 1 - t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 3t'}\\
{y = 2 + 3t'}\\
{z = 3t'}
\end{array}} \right.\)

b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 4 - t\\
z =  - 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t'}\\
{y = 2 - 3t'}\\
{z =  - 3t'}
\end{array}} \right.\)

Cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)

                               \({\rm{\Delta '}}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)

a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′ ;

b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.

Cho hai đường thẳng: \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t'}\\
{y = 3 - 2t'}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng \(d: \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\)$$ , hãy viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\).

Cho hai đường thẳng d₁: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{4}\) và d₂: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 7 + 3t}\\
{y = 2 + 2t}\\
{z = 1 - 2t}
\end{array}} \right.\)

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng\((\alpha )\)$$.

b) Viết phương trình của \((\alpha )\)$$.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 - t\\
y = 1 + 4t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 1 + t'}\\
{y =  - 3 + 4t'}\\
{z = 2 - 3t'}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 2 - t}\\
{y = 1 + 4t}\\
{z = 1 - t}
\end{array}} \right.\) và song song với d₁: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

(P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 2x + y + 2z  +5 = 0.

Cho hai mặt phẳng:

(P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P₁) và (P₂) là bằng nhau.

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\\
{y =  - 2t}\\
{z = 7 + t}
\end{array}} \right.\) và d₁: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 2 + t'}\\
{y =  - 2}\\
{z =  - 11 - t'}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Lập phương trình tham số của đường thẳng d  đi qua hai điểm phân biệt M0(x₀ ;y₀; z₀) và M₁(x₁, y₁, z₁).

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) Ax + By + Cz + D = 0  và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Cho

\(\begin{array}{l}
\vec u = \vec i - 2\vec j;\vec v = 3\vec i + 5\left( {\vec j - \vec k} \right){\rm{;}}\\
{\rm{\vec w}} = 2\vec i - \vec k + 3\vec j
\end{array}\)

a) Tìm toạ độ của các vectơ đó.

b) Tìm côsin của các góc \(\left( {\vec v,\vec i} \right);\left( {\vec v,\vec j} \right);\left( {\vec v,\vec k} \right)\)

c) Tính các tích vô hướng \(\vec u.\vec v,\vec u.{\rm{\vec w}},\vec v.{\rm{\vec w}}\)

Cho vecto \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh \({\cos ^2}(\vec u,\vec i) + {\cos ^2}(\vec u,\vec j) + {\cos ^2}(\vec u,\vec k) = 1\)

Tìm góc giữa hai vecto \(\vec u\) và \(\vec v\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right);\overrightarrow v  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

b) \(\vec u = 3\vec i + 4\vec j;\vec v =  - 2\vec j + 3\vec k\)

Biết \(|\overrightarrow u | = 2;|\overrightarrow v | = 5\), góc giữa vecto \({\vec u}\) và \({\vec v}\) bằng \(\frac{{2\pi }}{3}\). Tìm vecto \(\overrightarrow p  = k\overrightarrow u  + 17\overrightarrow v \) vuông góc với vecto \(\overrightarrow q  = 3\overrightarrow u  - \overrightarrow v \)

Cho điểm M(a; b; c)

a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ.

c) Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.

Cho hai điểm A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂). Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \)), trong đó k ≠ 1

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} \)

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1 ; 2 ; 3) và B(-3 ; -3 ; 2).

b) Cho ba điểm A(2; 0; 4); B(4; \(\sqrt 3 \); 5) và C(sin5t, cos3t, sin3t). Tìm t để AB vuông góc với OC (O là gốc toạ độ).

Xét sự đồng phẳng của ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow u (4;3;4),\overrightarrow v (2; - 1;2),\overrightarrow w (1;2;1)\\
b)\overrightarrow u (1; - 1;1),\overrightarrow v (0;1;2),\overrightarrow w (4;2;3)\\
c)\overrightarrow u (4;2;5),\overrightarrow v (3;1;3),\overrightarrow w (2;0;1)
\end{array}\)

Cho ba điểm A(1; 0; 0); B(0; 0; 1); C(2; 1; 1)

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.

d) Tính các góc của tam giác ABC.

Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N  là điểm sao cho \(\overrightarrow {SN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {SB} \)

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

\(\begin{array}{l}
a){x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\\
b)3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0\\
c)9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0
\end{array}\)

Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :

a) Đi qua ba điểm A(0 ; 8 ; 0), B(4; 6 ; 2), C(0 ; 12 ; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz);

b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox;

c) Có tâm I(1 ; 2 ; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm M(2; 0; −1); N(1; −2; 3); P(0; 1; 2)

b) Đi qua hai điểm A(1; 1; −1); B(5; 2; 1) và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:

a) x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z − 4 = 0
b) z − 2y + z − 3 = 0 và 2x − y + 4z − 2 = 0
c) x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) 3x − 2y + 3z + 5 = 0 và 9x − 6y − 9z − 5 = 0
e) x − y + 2z − 4 = 0 và 10x − 10y + 20z − 40 = 0

Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:

a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y − 4z + 7 = 0
b) 2x + y + mz − 2 = 0 và x + ny + 2z + 8 = 0.

Cho hai mặt phẳng có phương trình là

2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (m + 3)x− 2y + (5m + 1)z − 10 = 0

Với giá trị nào của m thì:

a) Hai mặt phẳng đó song song 

b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau

c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau 

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α′) trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)(\alpha ):2x - y + 4z + 5 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):3x + 5y - z - 1 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)(\alpha ):2x + y - 2z - 1 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):6x - 3y + 2z - 2 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
c)(\alpha ):x + 2y + z - 1 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):x + 2y + z + 5 = 0
\end{array}
\end{array}\)

Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D′ = 0 với D ≠ D′

Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = 0

b) M cách đều hai mặt phẳng x + y − z + 1 = 0 và x − y + z + 5 = 0

Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ  lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.

b) \(co{s^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + co{s^2}\gamma  = 1\)

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z − 2 = 0

Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀ ; z₀) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - 1;3;5)\)

d) Đường thẳng đi qua N(−2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( 0; 0; -3)\)

e) Đường thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x − 5y + 4 = 0

g) Đường thẳng đi qua P(2; 3; −1) và Q(1; 2; 4)

Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 3t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\)

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình: \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 8 + 4t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\) 

Và mặt phẳng (P): x + y + z − 7 = 0

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:\frac{{x - 1}}{2} = y - 7 = \frac{{z - 3}}{4};\)

\(d':\frac{{x - 3}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\)

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}

x = t\\
y =  - 3 - 4t\\
z =  - 3 - 3t
\end{array} \right.\) 

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + y − z = 0, (α′): 2x − y + 2z = 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; −1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = t\\
z = 3 - t
\end{array} \right.;d\prime :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 1 - 2t\\
z = 2 + t
\end{array} \right.\)

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d₁ và cắt cả hai đường thẳng d₂ và d₃, biết phương trình của d₁, d₂ và d₃ là:

\(\begin{array}{l}
{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 2 + 4t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\\
{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\\
{d_3}:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 4 + 5t'\\
y =  - 7 + 5t'\\
z = t'
\end{array} \right.
\end{array}\)

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + t\\
y = 5 + 2t\\
z = 8 - t
\end{array} \right.;\)

\({d_2}:\frac{{3 - x}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d₁ và d₂.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình: 

\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5};\)

\(\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\)

a) Tìm góc giữa d và (α)
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α)
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α)

Cho đường thẳng Δ và mp(P) có phương trình:

\(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2};\)

\(\left( P \right):2x + z - 5 = 0\)

a) Xác định tọa độ giao điểm A của Δ và (P).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với Δ

a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng Δ có phương trình \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)

b) Tính khoảng cách từ điểm N(2;3;−1) đến đường thẳng Δ đi qua điểm  \({M_0}\left( { - \frac{1}{2};0; - \frac{3}{4}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 4;2; - 1} \right)\)

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y =  - 1 - t\\
z = 1
\end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 3t'\\
y =  - 2 - 3t'\\
z = 3
\end{array} \right.\)

b) \(d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};\)

\(d':\left\{ \begin{array}{l}
x =  - t'\\
y = 2 + 3t'\\
z =  - 4 + 3t'
\end{array} \right.\)

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 9}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 3 + 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z =  - 1 + 4t}
\end{array}} \right.\)

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB₁, CD, A₁D₁. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C₁N.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(1; 1; 1), \(C\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\)

a) Viết phương trình tổng quát  của mặt phẳng (α) đi qua O và vuông góc với OC.

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa AB và vuông góc với (α).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (β) : x + 3ky – z + 2 = 0  và (γ) : kx – y + z + 1 = 0

Tìm k để giao tuyến của (β) và (γ) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):x--y--2z + 5 = 0.\)

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b)  với a > 0 và b> 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

Xác định tỉ số \(\frac{a}{b}\) để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), \(S(0;0;2\sqrt 2 )\). Gọi M là trung điểm cạnh SC.

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

Cho mặt phẳng (P):  2x – 3y  + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):

x² + y² + z² + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C).

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0 ; -1), D(4; 1; 0). Gọi (S) là mặt cầu  đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Cho hai đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{4}\)  và \({{\rm{\Delta }}_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ₁ và song song với Δ₂

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ₂ sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S).

Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; - 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:

(A) (-2; -3; 4)

(B) (3; 4; 2)

(C) (2; 3; 4)

(D) (-2; -3; -4)

Cho ba điểm A(1;2;0),B(1;0;−1),C(0;−1;2). Tam giác ABC là:

(A) Tam giác cân đỉnh A;       

(B) Tam giác vuông đỉnh A;

(C) Tam giác đều;

(D) Không phải như (A), (B), (C).

Cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:

(A) \(\sqrt {26} \)

(B) \(\frac{{\sqrt {26} }}{2}\)

(C) \(\frac{{\sqrt {26} }}{3}\)

(D) 26

Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1); (2;3;4); (6;5;2). Diện tích hình bình hành đó bằng:

(A) \(2\sqrt {83} \)

(B) \(\sqrt {83} \)$$

$$(C) 83

(D) \(\frac{{\sqrt {83} }}{2}\)

Cho A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1) và D(−2;1;−1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

(A) 1

(B) 2

(C) \(\frac{1}{3}\)

(D) \(\frac{1}{2}\)

Cho A(−1;−2;4); B(−4;−2;0); C(3;−2;1) và D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:

(A) 3

(B) 1

(C) 2

(D) 

Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) và D(2;2;1). Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

(A) \(\left( {\frac{3}{2}, - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\)

(B) \(\left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\)

(C) \(\left( {3;3;3} \right)\)

(D) \(\left( {3; - 3;3} \right).\)

Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:

(A) 5

(B) 4

(C) \(\sqrt 5 \)

(D) \(\frac{5}{2}.\)

Mặt cầu tâm I(2;1;−1) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:

(A) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4;\)

(B) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1;\)

(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4;\)

(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2.\)

Cho ba điểm A(1;1;3), B(−1;3;2) và C(−1;2;3). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

(A) \(x + 2y + 2z - 3 = 0\)

(B) \(x - 2y + 3z - 3 = 0\)

(C) \(x + 2y + 2z - 9 = 0\)

(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\)

Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?

(A) \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1;\)

(B) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0;\)

(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\)

(D) \(12x + 6y + 4z - 12 = 0.\)

Cho hai điểm A(1;3;−4) và B(−1;2;2). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

(A) \(4x + 2y - 12z - 17 = 0;\)

(B) \(4x + 2y + 12z - 17 = 0;\)

(C) \(4x - 2y - 12z - 17 = 0;\)

(D) \(4x - 2y + 12z + 17 = 0.\)

Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2\)$\mathrm{.}$ Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:

(A) (1; 1; 1)

(B) (2; 2; 2)

(C) \(\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\)

(D) \(\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}} \right)\)

Cho điểm A(−1;2;1) và hai mặt phẳng (P): 2x+4y−6z−5 = 0 và (Q) : x+2y−3z = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);

(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);

(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);

(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).

Cho điểm A(1;2;−5). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

(A) \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} = 1;\)

(B) \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1;\)

(C) \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} = 0;\)

(D) \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} + 1 = 0.\)

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) - 22 = 0\) và mặt phẳng \(3x - 2y + 6z + 14 = 0\)$\mathrm{.}$ Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:

(A 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4.

Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là G(−1;−3;2). Phương trình mặt phẳng (P) là:

(A) \(x + y - z - 5 = 0;\)

(B) \(2x - 3y - z - 1 = 0;\)

(C) \(x + 3y - 2z + 1 = 0;\)

(D) \(6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó

A(0;0;0), E(2;0;0), D(0;1;0), A′(0;0;1)

Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\)

Bước 3. Khoảng cách 

\(d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{2}{3}.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3.

Cho hai điểm A(1;−1;5) và B(0;0;1). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:

(A) 4x−z+1 = 0 

(B) 4x+y−z+1 = 0

(C) 2x+z−5 = 0

(D) y+4z−1 = 0

Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm A(2;−3;5) có phương trình là:

(A) 2x+3y = 0

(B) 2x−3y = 0

(C) 3x+2y = 0

(D) 3x−2y+z = 0

Cho mặt phẳng (P) có phương trình x−y−1 = 0. Điểm H(2;−1;−2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

(A) 30 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(B) 45 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(C) 60 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(D) 90⁰

Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:\frac{x}{3} = \frac{{y - 1}}{4} = z + 3\). Phương trình mặt phẳng (A,d) là:

(A) 23x+17y−z+14 = 0

(B) 23x−17y−z+14 = 0

(C) 23x+17y+z−60 = 0

(D) 23x−17y+z−14 = 0

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 3}}{3};\,{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + 4t}\\
{z = 2 + 6t.}
\end{array}} \right.\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) d₁, d₂ cắt nhau

(B) d₁, d₂ trùng nhau

(C) d₁ // d₂ 

(D) d₁, d₂ chéo nhau.

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 3y + z + 1 = 0\) và đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 - t}\\
{z = 2 - 3t}
\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha  \right)\)$$ là:

(A) A(3; 0; 4)

(B) A(3;−4;0)

(C) A(−3;0;4)

(D) A(3;0;−4)

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z = 2 + t.}
\end{array}} \right.\)

Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 2t}\\
{y =  - t}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 - 2t}\\
{y =  - 1 + t}\\
{z = 4 - t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 + 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z = 4 + t}
\end{array}} \right.\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\)

Cho hai điểm A(2;3;−1), B(1;2;4) và ba phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 3 - t\\
z =  - 1 + 5t
\end{array} \right.\\
\left( {II} \right)\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 5}}\\
\left( {III} \right)\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 - t\\
z = 4 + 5t
\end{array} \right.
\end{array}\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;

(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;

(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;

(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.

Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng Δ$\Delta$ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_G} = \frac{{1 + 1 + 1}}{3} = 1}\\
{{y_G} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2}\\
{{z_G} = \frac{{2 + 1 + 3}}{3} = 2.}
\end{array}} \right.\)

Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là 

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;1;0} \right).\)

Bước 3: Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 3t\\
y = 2 + t\\
z = 2
\end{array} \right.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng

\({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 - t}\\
{z = 1 - 3t.}
\end{array}} \right.\)

Phương trình của d là:

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t}\\
{y = 3t}\\
{z =  - t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{y =  - 3t}\\
{z =  - t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y =  - 3t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 + 4t}\\
{y =  - 1 - t}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right.\) 

Và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\)$\mathrm{.}$ 

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) d song song với (P)

(B) d cắt (P)

(C) d vuông góc với (P)

(D) d nằm trên (P)

Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6 - 4t}\\
{y =  - 2 - t}\\
{z =  - 1 + 2t}
\end{array}} \right.\)

Hình chiếu của A trên d có tọa độ là

(A) (2;−3;1)

(B) (2;−3;−1)

(C) (2;3;1)$$

(D) (−2;3;1)

Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;1;0} \right)\\
\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;0} \right).
\end{array}\)

Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2;2;2} \right)\)

Bước 3: 

\(\begin{array}{l}
d\left( {AC,BD} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}}\\
 = \frac{2}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
\end{array}\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3

Cho \(\left| {\vec u} \right| = 2,\left| {\vec v} \right| = 1,\left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{\pi }{3}\)$.$ 

Góc giữa vectơ \(\vec u\) và \(\vec u - \vec v\) bằng:

(A) 30 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(B) 45⁰         

(C) 60 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(D) 90⁰

Cho \(\left| {\vec u} \right| = 2,\left| {\vec v} \right| = 5,\left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{\pi }{6}\)$.$ Độ dài vectơ \(\left[ {\vec u,\vec v} \right]\) bằng: 

(A) 10

(B) 5             

(C) 8

(D) \(5\sqrt 3 \)

Mặt phẳng \(2x - 3y + z - 1 = 0\) cắt các trục tọa độ tại các điểm:

(A) \(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),\left( {0; - \frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0;1} \right)\)

(B) \(\left( {1;0;0} \right),\left( {0;\frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0;1} \right)\)

(C) \(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),\left( {0;\frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0;1} \right)\)

(D) \(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),\left( {0; - \frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0; - 1} \right)\)

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - \frac{9}{5} - t}\\
{y = 5t}\\
{z = \frac{7}{5} + 3t}
\end{array}} \right.\) 

Và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0\)$\mathrm{.}$ 

Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?

(A) (5;−51;39)

(B) (10;−102;−78)

(C) (−5;51;39)

(D) (5;51;39)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng \(AC' \bot \left( {MNP} \right).\)

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;

Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),

\(M = \left( {\frac{1}{2};0;1} \right),N\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),P\left( {0;1;\frac{1}{2}} \right).\)

Bước 2:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right)\\
\overrightarrow {MP}  = \left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right).
\end{array}\)

Bước 3: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC\prime } .\overrightarrow {MN}  = 0\\
\overrightarrow {AC\prime } .\overrightarrow {MP}  = 0
\end{array} \right. \Rightarrow AC\prime  \bot (MNP).\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 2 - t}
\end{array}} \right.\)

Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 2t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 2 - t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

Cho mặt phẳng (P) : x−2y−3z+14 = 0 và điểm M(1;−1;1). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là

(A) (−1;3;7)                  

(B) (1;−3;7)

(C) (2;−3;−2)

(D) (2;−1;1).

Cho điểm A(0;−1;3) và đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = 2}\\
{z =  - t}
\end{array}} \right.\)

Khoảng cách từ A đến d bằng:

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) \(\sqrt {14} \)           

(C) \(\sqrt 6 \)

(D) \(\sqrt 8 \)

Cho điểm M(−1;2;−3). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình mp(M₁M₂M₃) là:

(A) 6x+2y+3z+6 = 0 

(B) 6x−2y+3z+6 = 0

(C) 6x−3y+2z+6 = 0

(D) 6x−3y−2z+6 = 0

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 49\)$\mathrm{.}$ 

Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

(A) 6x+2y+3z = 0

(B) 2x+3y+6z−5 = 0

(C) 6x+2y+3z−55 = 0

(D) x+2y+2z−7 = 0

Cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\)$\mathrm{.}$ 

Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?

(A) 0

(B) 1                  

(C) 2

(D) 3.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với cạnh bên không vuông góc với mặt đáy. Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với các cạnh bên của hình lăng trụ và cắt chúng tại P, Q, R. Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {AA'}\)$\stackrel{}{}$ biến tam giác PQR thành tam giác P’Q’R’.

a) Chứng minh rằng thể tích V của hình lăng trụ đã cho bằng thể tích của hình lăng trụ PQR.P’Q’R’.

b) Chứng minh rằng V = SPQR.AA′, trong đó SPQR là diện tích tam giác PQR.

Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Hãy tính thể tích hình tứ diện có đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện đã cho.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có thể tích V. Hãy tính thể tích của tứ diện ACB’D’.

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tám mặt đều. Hãy so sánh thể tích của tứ diện đều đã cho và thể tích của hình tám mặt đều đó.

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi H là hình gồm các điểm của hình tròn (O; R) nhưng không nằm trong hình vuông. Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi hình H khi quay quanh đường thẳng chứa một đường chéo của hình vuông.

Cho hình lục giác đều ABCDEF cạnh a.

a) Tính thể tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng AD.

b) Tính thế tích hình tròn xoay sinh bởi lục giác đó khi quay quanh đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và DE.

Cho hình trụ có bán kính R và đường cao \(R\sqrt 2 \). Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.

a) Chứng minh ABCD là tứ diện đều.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách giữa mỗi đường thẳng đó và trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

Trong không gian tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 3), B(4; 2; -5), C(5; 5; -1) và D(1; 2; 4).

a) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D . Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, B, C và tìm khoảng cách từu điểm D tới mặt phẳng đó.

d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với CD và tiếp xúc với mặt cầu (S).

e) Tìm bán kính các đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) và các mặt phẳng tọa độ.

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}.\)

a) Viết phương trình hình chiếu của Δ trên các mặt phẳng tọa độ.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng \(x + 5y + z + 4 = 0\) đi qua đường thẳng Δ

c) Tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và các trục tọa độ.

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng Δ và \({\rm{\Delta '}}:x = y = z.\)

e) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả Δ và Δ′

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; -1; 2), B(2; 0; 1).

a) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)

b) Tìm quỹ tích các điểm N sao cho \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)

c) Tìm quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng (OAB) và (Oxy).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + at}\\
{y = 1 + bt}\\
{z = 5 + ct}
\end{array}} \right.\)

 trong đó a, b, c thay đổi sao cho \({c^2} = {a^2} + {b^2}.\)

a) Chứng minh rằng đường thẳng Δ đi qua một điểm cố định, góc giữa Δ và Oz là không đổi.
b) Tìm quỹ tích các giao điểm của Δ và mp(Oxy).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c.

a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD).

b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Cho H là hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Xét các mặt phẳng (SAC), (SAB), (SBD), (ABC), (SOI), trong đó I là trung điểm của AB, O là tâm hình vuông ABCD. Trong các mặt phẳng đó, có bao nhiêu mặt phẳng là mặt phẳng đối xứng của H ?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Gọi H là lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A’B’C’D’E’F’. Xét các mặt: mp(AA’D), mp(ACA’), mp(ABB’), mặt phẳng trung trực của DD’, mặt phẳng trung trực của AB. Trong các mặt phẳng đó, có bao nhiêu mặt phẳng là mặt phẳng đối xứng của H ?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, M  là trung điểm của cạnh AB. Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ?

(A) \({V_{A'B'C'C}} = {V_{MA'B'C'}}\)

(B) \({V_{ABCC'}} = {V_{A'BCC'}}\)

(C) \({V_{MA'B'C'}} = {V_{A'ABC}}\)

(D) \({V_{MA\prime B\prime C\prime }} = \frac{1}{2}{V_{AA\prime B\prime C\prime }}\)

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ . Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai ?

(A) \({V_{A'BCC'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}};\)

(B) \({V_{A.BB'C'C}} = \frac{1}{2}{V_{ABC.A'B'C'}};\)

(C) \({V_{A'.BCC'B'}} = 2{V_{AA'BC}};\)

(D) \({V_{C.ABB\prime A\prime }} = {V_{C\prime .ABB\prime A\prime }}.\)

Cho khối chóp tứ giác S.ABCD và các điểm A’, B’, C’, D’ lần lượt nằm trên các đường thẳng SA, SB, SC, SD nhưng không trùng với S.

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

(A) \(\frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}};\)

(B) \(\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.A'B'C'D'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SC}}{{SC'}}.\frac{{SD}}{{SD'}};\)

(C) \(\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.A'B'C'D'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}}.\frac{{SC}}{{SC'}} + \frac{{SB}}{{SB'}}.\frac{{SD}}{{SD'}};\)

(D) \(\frac{{{V_{S.ABCD}}}}{{{V_{S.A'B'C'D'}}}} = \frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} + \frac{{SD}}{{SD'}}.\)

Trong các mênh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

(A) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu đáy của nó là đa giác nội tiếp;

(B) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu tất cả các mặt của nó đều là đa giác nội tiếp ;

(C) Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu có mặt bên vuông góc với mặt đáy ;

(D) Đa diện nội tiếp một mặt cầu nếu các mặt của nó đều là đa giác nội tiếp.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

(A) Đường tròn đi qua ba điểm phân biệt nằm trên mặt cầu thì nằm hoàn toàn trên mặt cầu ;

(B) Có duy nhất một mặt cầu đi qua 4 đỉnh của một hình thang cân cho trước ;

(C) Hình chóp có đáy là hình thang vuông luôn luôn nội tiếp một mặt cầu ;

(D) Cả ba mệnh đề trên đều sai.

Cho khối trụ có bán kính \(a\sqrt 3 \) và chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của nó là:

(A) \(4\pi {a^3}\sqrt 2 ;\)

(B) \(9{a^3}\sqrt 3 ;\)

(C) \(6\pi {a^3}\sqrt 3 ;\)

(D) \(6\pi {a^2}\sqrt 3 .\)

Đáy của một hình chóp là hình vuông có diện tích bằng 4. Các mặt bên của nó là những tam giác đều. Diện tích toàn phần của hình chóp là

(A) \(4 + 4\sqrt 3 \)

(B) 8

(C) 16

(D) \(4 + 4\sqrt 2 \)

Một hình nón có đường sinh bằng l và bằng đường kính đáy. Bán kính hình cầu ngoại tiếp hình nón là:

(A) \(\frac{1}{3}\)l

(B) \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\)l

(C) \(\frac{{\sqrt 2 }}{6}\)l

(D) \(\frac{3}{4}\)l.

Một hình cầu có thể tích bằng \(\frac{{4\pi }}{3}\), nội tiếp một hình lập phương. Thể tích của hình lập phương đó bằng

(A) 8

(B) \(4\pi \)

(C) 1

(D) \(2\pi \sqrt 3 \)

Cho hình chữ nhật có hai đỉnh A(−2;3;0), B(2;3;0) và một cạnh nằm trên trục Ox. Khối tròn xoay sinh bởi hình chữ nhật đó khi quay quanh trục Oy có thể tích là:

(A) \(6{\pi ^2}\)

(B) 12

(C) \(12\pi \)

(D) \(\frac{{4\pi }}{3}.\)

Cho hai vectơ \(\vec u=\left( {1;0;2} \right)\) và \(\vec v = \left( {0; - 1;1} \right)\).

Trong các vectơ sau, vectơ nào cùng phương với \(\left[ {\vec u,\vec v} \right]\)$?$

(A) \(\vec a = \left( {1;1;1} \right)\)

(B) \(\vec b = \left( { - 2;1;1} \right)\)

(C) \(\vec c = \left( {0;1; - 1} \right)\)

(D) \(\vec d = \left( {2;2; - 1} \right).\)

Cho tam giác ABC có diện tích bằng 6 nằm trong mặt phẳng (α) có phương trình \(2x - 2y + z + 5 = 0\)$\mathrm{.}$ Thể tích hình chóp S.ABC với S(1;1;1) bằng:

(A) \(3\sqrt 6 \)

(B) \(12\sqrt 2 \)

(C) 8

(D) 4

Mặt cầu tâm I(6; 3; -4) tiếp xúc với trục Ox có bán kính là:

(A) 5

(B) \(2\sqrt 3 \)

(C) \(4\sqrt 3 \)

(D) 4

Cho hai đường thẳng d có phương trình 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = 2 - t}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right.\)

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 - t}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 + 4t}\\
{y = 1 - 2t}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3 - t}
\end{array}} \right.\)

Cho hai đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3 - t}
\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t'\\
y =  - 1 + 2t'\\
z = 2 - 2t'
\end{array} \right.\)

Khi đó:

(A) d cắt d’

(B) d trùng d’

(C) d và d’ chéo nhau

(D) d song song với d’

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có phương trình

\(\begin{array}{l}
\left( P \right):3x + 4z + 12 = 0\\
\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1
\end{array}\) 

Khi đó:

(A) mp(P) đi qua tâm cầu (S) ;

(B) mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S);

(C) mp(P) cắt (S) theo một đường tròn;

(D) mp(P) không cắt (S).

Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M(2; 0; 1) trên đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\) là

(A) (1; 0; 2)

(B) (2; 2; 3)

(C) (0; -2 ; 1)

(D) (-1; 4; 0)

Cho hai đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 0}\\
{z =  - 5 + t}
\end{array}} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 4 - 2t'}\\
{z = 5 + 3t'}
\end{array}} \right.\) 

Phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là:

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 + 2t}\\
{y = 3t}\\
{z =  - 2 + 2t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 - t}\\
{y = 3t}\\
{z =  - 2 + t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\frac{{x - 4}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\)

(D) \(\frac{{x - 4}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{2}.\)

Cho mặt phẳng (P): \(mx + y + \left( {n - 2} \right)z + m + 2 = 0\)

Với mọi m, n , mặt phẳng (P) luôn đi qua điểm cố định có tọa độ là:

(A) (1; 2; 0)

(B) (2; 1; 0)

(C) (0; 1; -2)

(D) (-1; -2; 0)

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 4z = 0\)$\mathrm{.}$ 

Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A(3; 4; 3) có phương trình:

(A) \(4x + 4y - 2z - 17 = 0\)

(B) \(2x + 2y + z - 17 = 0\)

(C) \(2x + 4y + z - 17 = 0\)

(D) \(x + y + z - 17 = 0\)

Cho lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A′B′C′D′E′F′, O và O′ là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy, mặt phẳng (P) đi qua trung điểm của OO′ và cắt các cạnh bên cúa lăng trụ. Chứng minh rằng (P) chia lăng trụ đã cho thành hai đa diện có thể tích bằng nhau.

Cho khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Tính thể tích của (H).

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua hai điểm E(4;−1;1), F(3;1;−1) và song song với trục Ox. Phương trình tổng quát của \(\left( \alpha  \right)\) là:

A. x+y = 0

B. y+z = 0

C. x+y+z = 0

D. x+z = 0

Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm A(1;2;3) và song song với mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x - 4y + z + 12 = 0\). Phương trình tổng quát của \(\left( \alpha  \right)\)$$ là:

A. x−4y+z+4 = 0

B. x−4y+z−4 = 0

C. x−4y+z−12 = 0

D. x−4y+z+3 = 0

Cho điểm I(2;6;−3) và các mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x - 2 = 0\), \(\left( \beta  \right):y - 6 = 0\), \(\left( \gamma  \right):z + 3 = 0\)

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \(\left( \alpha  \right)\)$$ đi qua I

B. \(\left( \beta  \right)//\left( {xOz} \right)\)

C. \(\left( \gamma  \right)//Oz\)

D. \(\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right)\)

Phương trình của mặt phẳng chứa trục Oy và điểm Q(1;4;−3) là:

A. 3x+z = 0

B. x+3z = 0

C. 3x+y = 0

D. 3x−z = 0

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2y + z = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\left( \alpha  \right)//Ox\)

B. \(\left( \alpha  \right)//Oy\)

C. \(\left( \alpha  \right)//\left( {yOz} \right)\)

D. \(\left( \alpha  \right) \supset Ox\)

Cho ba điểm A(2;1;−1), B(−1;0;4), C(0;−2;−1). Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC là:

A. x−2y−5z+5 = 0

B. x−2y−5z−5 = 0

C. x−2y−5z 0

D. 2x−y+5z−5 = 0

Cho đường thẳng d có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 2t}\\
{y =  - 3t}\\
{z =  - 3 + 5t}
\end{array}} \right.\). Phương trình chính tắc của d là:

A. \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z + 3}}{5}\)

B. \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{5}\)

C. \(x - 2 = y = z + 3\)

D. \(x + 2 = y = z - 3\)

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 - t}\\
{y = 1 + t}\\
{z =  - 3 + 5t}
\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của d là:

A. \(\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}\)

B. \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{1}\)

C. \(2x + y + z - 5 = 0\)

D. \(x + y + z - 3 = 0\)