Bài tập 10 trang 123 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 10 trang 123 SGK Hình học 12 NC

a) Giả sử M(x, y, z) ta có: \(M{A^2} - M{B^2} = 2.\)$\mathrm{}$

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {2 - z} \right)^2}\\
 - {\left( {2 - x} \right)^2} - {y^2} - {\left( {1 - z} \right)^2} = 2\\
 \Leftrightarrow 2x + 2y - 2z - 1 = 0.
\end{array}\)

Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng có phương trình \(2x + 2y - 2z - 1 = 0.\)

b) Giả sử N(x, y, z) ta có: \(N{A^2} + N{B^2} = 3.\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {2 - z} \right)^2}\\
 + {\left( {2 - x} \right)^2} + y2 + {\left( {1 - z} \right)^2} = 3\\
 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + y - 3z + 4 = 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}
\end{array}\)

Vậy quỹ tích các điểm N là mặt cầu có tâm \(I\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\), bán kính \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

c) Mặt phẳng (OAB) đi qua O, có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 1;3;2} \right)\) nên có phương trình: \( - x + 3y + 2z = 0.\)

Mp(Oxy) có phương trình z = 0.

Điểm M(x, y, z) cách đều mp(OAB) và mp(Oxy) khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\frac{{\left| { - x + 3y + 2z} \right|}}{{\sqrt {1 + 9 + 4} }} = \left| z \right|\\
 \Leftrightarrow  - x + 3y + 2z =  \pm \sqrt {14} z\\
 \Leftrightarrow x - 3y + \left( { \pm \sqrt {14}  - 2} \right)z = 0
\end{array}\)

-- Mod Toán 12