Bài tập 3.42 trang 131 SBT Hình học 12

Bài tập 3.42 trang 131 SBT Hình học 12

Phương trình tham số của đường thẳng \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 - t}\\
{y = 2 + 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right.\)

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’ lần lượt là \(\vec a = ( - 1;2;3),\overrightarrow {a'}  = (1; - 2;0)\)

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’ ; 1) trên d’ ta có \(\overrightarrow {MM'}  = (t' + t;1 - 2t' - 2t;1 - 3t)\)

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\overrightarrow {MM'} .\vec a = 0}\\
{\overrightarrow {MM'} .\overrightarrow {a'}  = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - t' - t + 2 - 4t' - 4t + 3 - 9t = 0}\\
{t' + t - 2 + 4t' + 4t = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5t\prime  + 14t = 5\\
5t\prime  + 5t = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = \frac{1}{3}\\
t' = \frac{1}{{15}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là \(M\left( {\frac{2}{3};\frac{8}{3};1} \right),M'\left( {\frac{{16}}{{15}};\frac{{43}}{{15}};1} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {\frac{6}{{15}};\frac{3}{{15}};0} \right)\)

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương \(\vec u = (2;1;0)\)

Vậy phương trình tham số của Δ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \frac{2}{3} + 2t}\\
{y = \frac{8}{3} + t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\)

-- Mod Toán 12