Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12

Bài tập 3.30 trang 114 SBT Hình học 12

Gọi giao điểm của \((\alpha )\) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)            (1)

Do \((\alpha )\) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\)

Thể tích của tứ diện OABC là :

\(V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}OA.OB.OC = \frac{1}{6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 

\(\begin{array}{l}
1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{6}{{abc}}}} \Rightarrow 1 \ge \frac{{27.6}}{{abc}}\\
 \Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27
\end{array}\)

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow V = 27 \Leftrightarrow \frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a = 3}\\
{b = 6}\\
{c = 9}
\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)$$ thỏa mãn đề bài là:

 \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\) hay 6x + 3y + 2z – 18 = 0.

-- Mod Toán 12