Bài tập 12 trang 124 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 12 trang 124 SGK Hình học 12 NC

a) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Ta có: A′(0;0;c), B(a;0;0), D(0;b;0).

Phương trình mặt phẳng (A’BD) là: 

\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0.\)

Khoảng cách từ A(0; 0; 0) tới mp(A’BD) là:

\(\begin{array}{l}
d = \frac{{\left| { - 1} \right|}}{{\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\\
 = \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.
\end{array}\)

b) Ta có C′(a;b;c).

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {A'C'}  = \left( {a,b,0} \right),\overrightarrow {C'D}  = \left( { - a;0; - c} \right)\\
\left[ {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {C'D} } \right] = \left( { - bc,ac,ab} \right).
\end{array}\)

Khoảng cách từ A′(0,0,c) tới đường thẳng C’D là:

\({h_1} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {C'D} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {C'D} } \right|}} = \frac{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.\)

c)  Ta có 

$$\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BC'}  = \left( {0,b,c} \right),\overrightarrow {CD'}  = \left( { - a,0,c} \right)\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {0,b,0} \right)
\end{array}\)

Khoảng cách giữa BC’ và CD’ là:

\(\begin{array}{l}
{h_2} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {CD'} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BC'} ,\overrightarrow {CD'} } \right]} \right|}}\\
 = \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}.
\end{array}\)

-- Mod Toán 12