Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 12 NC

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = ( - 6;1; - 1);\overrightarrow {BC}  = (2;3;1)\).

Vì \(\frac{{ - 6}}{2} \ne \frac{1}{3} \ne \frac{{ - 1}}{1}\) nên \(\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} \) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử D(x; y; z) thì \(\overrightarrow {BD}  = (x - 3;y + 3;z - 1)\)

ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} \\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3 =  - 6 + 2}\\
{y + 3 = 1 + 3}\\
{z - 1 =  - 1 + 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 1}\\
{y = 1}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy D(−1; 1; 1).

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {8;2;2} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4;4;0} \right)\)

Do đó: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
cos\left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} }}{{AC.BD}}\\
 = \frac{{ - 32 + 8}}{{\sqrt {72} .\sqrt {32} }} =  - \frac{1}{2}
\end{array}\\
{ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = \frac{{2\pi }}{3}}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12