Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 19 trang 90 SGK Hình học 12 NC

a) Điểm M(x,y,z) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{|2x - y + 4z + 5|}}{{\sqrt {4 + 1 + 16} }} = \frac{{|3x + 5y - z - 1|}}{{\sqrt {9 + 25 + 1} }}}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sqrt 5 |2x - y + 4z + 5|\\
 = \sqrt 3 |3x + 5y - z - 1|
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \sqrt 5 (2x - y + 4z + 5)\\
 =  \pm \sqrt 3 (3x + 5y - z - 1)
\end{array}
\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
(2\sqrt 5  - 3\sqrt 3 )x - (\sqrt 5  + 5\sqrt 3 )y\\
 + (4\sqrt 5  + \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5  + \sqrt 3  = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
(2\sqrt 5  + 3\sqrt 3 )x - (\sqrt 5  - 5\sqrt 3 )y\\
 + (4\sqrt 5  - \sqrt 3 )z + 5\sqrt 5  - \sqrt 3  = 0
\end{array}
\end{array}\)

b) Điểm M(x, y, z) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\frac{{|2x + y - 2z - 1|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = \frac{{|6x - 3y + 2z - 2|}}{{\sqrt {36 + 9 + 4} }}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
7(2x + y - 2z - 1) = 3(6x - 3y + 2z - 2)\\
7(2x + y - 2z - 1) =  - 3(6x - 3y + 2z - 2)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 4x + 16y - 20z - 1 = 0\\
32x - 2y - 8z - 13 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Tập hợp các điểm M là hai mặt phẳng có phương trình:

\(\begin{array}{l}
 - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}16y - 20z - 1 = 0\\
 \Leftrightarrow 32x - 2y - 8z - 13 = 0
\end{array}\)

c) Điểm M(x, y, z) cách đều hai mặt phẳng đã cho khi và chỉ khi:

\(\begin{array}{l}
\frac{{|x + 2y + z - 1|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }} = \frac{{|x + 2y + z + 5|}}{{\sqrt {1 + 4 + 1} }}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + 2y + z - 1 = x + 2y + z + 5\\
x + 2y + z - 1 =  - x - 2y - z - 5
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow 2x + 4y + 2z + 4 = 0
\end{array}\)

Tập hợp các điểm M là một mặt phẳng có phương trình : x + 2y + z + 2 = 0

-- Mod Toán 12