Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12

Bài tập 1 trang 91 SGK Hình học 12

Phương pháp:

• Câu a: 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng khi và chỉ khi \(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right ].\overrightarrow{AD}\neq 0\).
• Câu b: \(\cos \left( {AB,CD} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right|.\)
• Câu c: Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 1 như sau:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0),\,\,\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1),\,\,\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ { - 1}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1;1;1} \right)\)

\(\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 1.( - 3) + 1.1 + 1.( - 1) = - 3 \ne 0.\)

Suy ra \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD}\) không đồng phẳng hay A, B, C, D là bốn đỉnh một tứ diện.

Câu b:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;1;0); \overrightarrow{CD}=(-2;1;-2)\)

\(cos(AB,CD) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {CD} } \right|}} = \frac{{\left| {2 + 1 + 0} \right|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 9 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 45⁰.

Câu c:

Ta có: 

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BC} = (0; - 1;1),\,\overrightarrow {BD} = \left( { - 2;0; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&1\\ 0&{ - 1} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0\\ { - 1}&{ - 2} \end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ { - 2}&0 \end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 2; - 2} \right). \end{array}\)

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(0;1;0) nhận \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]\) làm VTPT nên có phương trình là:

\(1(x - 0) - 2(y - 1) - 2(z - 0) = 0\) hay \(x - 2y - 2z + 2 = 0.\)

Độ dài đường cao của hình chóp A.BCD là khoảng cách từ A đến mp(BCD), ta có:

\(AH=d(A,(BCD))=\frac{\left | 1+2 \right |}{\sqrt{1+4+4}}=1\).

-- Mod Toán 12