Bài tập 3 trang 92 SGK Hình học 12

Bài tập 3 trang 92 SGK Hình học 12

Phương pháp:

• Câu a: Mặt phẳng (BCD) có cặp VTCP là \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD}\) nên có một VTPT là \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right ].\) Viết phương trình mặt phẳng (BCD), thay tọa độ điểm A vào phương trình (BCD) để kiểm tra 4 điểm ABCD có tạo thành một tứ diện hay không.
• Câu b: Chiều cao AH của tứ diện ABCD chính là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
• Câu c: Mp(\(\alpha\)​) chứa AB và song song với CD nên có cặp VCTP là \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} .\)

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b, c bài 3 như sau:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow{BC}=(-1;2;-7), \overrightarrow{BD}=(0;4;-6)\)

Mp(BCD) có vecto pháp tuyến: \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{BC};\overrightarrow{BD} \right ]= (16;-6;-4)\)

Mp(BCD) đi qua B(1;0;6) và có vecto pháp tuyến \(\vec{n} =(16;-6;-4)\) nên có phương trình là:

\(16(x-1)-6y-4(z-6)=0\Leftrightarrow 8x-3y-2z+4=0\)

Do \(8.( - 2) - 3.6 - 2.3 + 4 = - 36 \ne 0\)

Nên \(A \notin (BCD)\) suy ra ABCD là một tứ diện.

Câu b:

Chiều cao AH của tứ diện là khoảng cách từ A đến mp(BCD)

Ta có: \(AH=d(A,BCD)=\frac{\left | 8(-2)-3.6-2.3+4 \right |}{\sqrt{8^2+(-3)^2+(-2)^2}}= \frac{36}{\sqrt{77}}\)

Câu c:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(3;-6;3), \overrightarrow{CD}=(1;2;1)\)

Mp(\(\alpha\)​) chứa AB và song song với CD nên có cặp VCTP là \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD} .\)

Suy ra (\(\alpha\)​) có một vectơ pháp tuyến \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right ]=(-12;0;12)\).

Mặt khác (\(\alpha\)​) chứ AB nên đi qua B(1;0;6).

Nên phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)​) là:

\(-12(x-1)+0(y-0)+12(z-6)=0\Leftrightarrow x-z+5=0\).

-- Mod Toán 12