Bài tập 9 trang 100 SGK Hình học 12

Bài tập 9 trang 100 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Câu a: Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AC khi \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0.\) Tương tự với các cặp đường thẳng khác.

Do AB, AC, AD đôi một vuông góc nên ta dễ dàng tính được thể tích tứ diện ABCD: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.AD = \frac{1}{6}.AB.AC.AD.\)

Câu b: 

Nếu không biết cách suy luận, ta sẽ giải câu b bằng cách thông thường nặng về tính toán:

Gọi (S) là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, thì phương trình (S) có dạng: \(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\), điều kiện \(a^2+b^2+c^2-d> 0\). (*)

Thay tọa độ 4 đỉnh vào (*) và giải hệ phương trình ta được giá trị của A, B, C, D.

Tuy nhiên, ở câu a ta đã chứng minh được AB, AC, AD đôi một vuông góc, nên ta có thể dễ dàng xác định được tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD. Khi đó lời giải sẽ đơn giản và nhanh hơn rất nhiều.

Câu c: 

\((\alpha )\) song song với mặt phẳng (ABD) ta dễ dàng suy ra được VTPT của \((\alpha )\). Từ đó suy ra được dạng phương trình tổng quát của \((\alpha )\).

Ax+By+Cz+D=0 với A, B, C đã biết. Ta sử dụng dữ kiện \((\alpha )\) tiếp xúc với (S) để tìm D.

Lời giải:

Lời giải chi tiết câu a, b, c bài 9 như sau:

Câu a:

\(\overrightarrow{AB}=(-1;0;0), \overrightarrow{AC}=(0;0;4), \overrightarrow{AD}=(0;-2;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow{AB}. \overrightarrow{AC}= \overrightarrow{AC}. \overrightarrow{AD}= \overrightarrow{AD}. \overrightarrow{AB}=0\)

Suy ra AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một.

Thể tích tứ diện ABCD là: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.AD = \frac{1}{6}.AB.AC.AD = \frac{4}{3}.\)

Câu b:

Gọi M là trung điểm BC ta có \(M(\frac{3}{2};4;1)\)

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (ABC) ta suy ra d chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đường thẳng AD.

Khi đó giao điểm của (P) và d chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có: \(\overrightarrow{MI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_I=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}.0=\frac{3}{2}\\ y_I=4+\frac{1}{2}.(-2)=3\\ z_I=1+\frac{1}{2}.0=1 \end{matrix}\right.\)

Vậy tâm mặt cầu (S) là \(I(\frac{3}{2};3;1)\), bán kính \(R=IA=\frac{\sqrt{21}}{2}\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

\((x-\frac{3}{2})^2+(y-3)^2+(z-1)^2=\frac{21}{4}\).

Câu c:

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=(-1;0;0)\) và \(\overrightarrow{AD}=(0;-2;0)\)

\(\left [ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right ]=(0;0;2)\)

Mặt phẳng (ABD) có một VTPT là: \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}.\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = (0;0;1).\)

Do \((\alpha )\) song song với (ABD) nên cũng nhận \(\vec{n}=(0;0;1)\) làm VTPT.

Suy ra phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) có dạng \((\alpha )\) z + D = 0.

\((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\Rightarrow d(I,(\alpha ))=r\)

\(\Leftrightarrow \left | 1+D \right |=\frac{\sqrt{21}}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} D=-1+\frac{\sqrt{21}}{2}\\ \\ D=-1-\frac{\sqrt{21}}{2} \end{matrix}\right.\)

Vậy có hai mặt phẳng \((\alpha )\) thoả mãn đề bài:

\((\alpha _1): z-1+\frac{\sqrt{21}}{2}=0\).

\((\alpha _2): z-1-\frac{\sqrt{21}}{2}=0\).

-- Mod Toán 12