Bài tập 2 trang 99 SGK Hình học 12

Bài tập 2 trang 99 SGK Hình học 12

Cách vẽ thiết diện:

Ta có EF // B′D′ mà B′D′ // BD nên từ A kẻ đường song song với BD, cắt CD kéo dài tại D₁ và CB kéo dài tại B₁.

Nối B₁E cắt BB′ tại G. Nối D₁F cắt DD′ tại K$K$.

Thiết diện là ngũ giác AGEFK.

Hình (H) là khối AGEFK.A′B′D′.

Theo giả thiết E là trung điểm của B′C′$B^{\prime }{C}^{\prime }$; F là trung điểm của C′D′, ta có

\(\begin{array}{l}
B{B_1} = BC = a = 2B'E\\
 \Rightarrow BG = 2GB' = \frac{2}{3}a
\end{array}\)

Từ đó 

\(\begin{array}{l}
{V_{A.B{B_1}G}} = \frac{1}{3}AB.{S_{B{B_1}G}}\\
 = \frac{1}{3}a.\frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^3}}}{9} = {V_1}
\end{array}\)

\({V_{(A.D{D_1}K)}} = \frac{1}{3}.{S_{{\rm{\Delta }}D{D_1}K}}.AD = \frac{1}{9}{a^3} = {V_2}\)

Ta có:

\({S_{{\rm{\Delta }}C{B_1}{D_1}}} = \frac{1}{2}C{B_1}.C{D_1} = 2{a^2}\)

\({S_{{\rm{\Delta }}EC'F}} = \frac{1}{2}.C'E.C'F = \frac{{{a^2}}}{8}\)

Chiều cao hình chóp cụt \(C{B_1}{D_1}.C'EF\) là 

\({V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} = \frac{1}{3}a\left( {2{a^2} + \frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2}} \right) = \frac{{7{a^3}}}{8}\)

Thể tích của khối (H') bằng:

\(\begin{array}{l}
{V_{(H')}} = {V_{C{C_1}{D_1}.C'EF}} - ({V_1} + {V_2})\\
 = \frac{7}{8}{a^3} - \frac{2}{9}{a^3} = \frac{{47}}{{72}}{a^3}
\end{array}\)

Từ đó thể tích của khối (H) bằng:

V_(H) = V_{lập phương} - V_(H') \( = {a^3} - \frac{{47}}{{72}}{a^3} = \frac{{25}}{{72}}{a^3}\)

-- Mod Toán 12