Bài tập 3.69 trang 134 SBT Toán 12
Bài tập 3.69 trang 134 SBT Toán 12
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).
a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 –2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
1 - 2a + d = 0\\
1 - 2b + d = 0\\
1 - 2c + d = 0\\
2 - 2a - 2b + d = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
b = \frac{1}{2}\\
c = \frac{1}{2}\\
d = 0
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0
b) Ta có \(\overrightarrow {AC} = ( - 1;0;1)\) và \(\overrightarrow {AD} = (0;1;0)\)
Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\vec n = \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {AD} = ( - 1;0; - 1)\) hay \(\overrightarrow {n'} = (1;0;1)\)
Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0 hay x + z – 1 = 0
Mặt cầu (S) có tâm \(I(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})\)
Ta có I ∈ (ACD), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy:
\(\begin{array}{l}
r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \\
= \sqrt {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12
Copyright © 2021 HOCTAP247