Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 15 trang 89 SGK Hình học 12 NC

a) Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 1; - 2;4} \right),\overrightarrow {MP}  = \left( { - 2;1;3} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( { - 10; - 5; - 5} \right) =  - 5\left( {2;1;1} \right)\)

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là \(\overrightarrow n  = (2;1;1)\).

Mp(MNP) đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (2;1;1)\) nên có phương trình là:

\(\begin{array}{l}
2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow 2x + y + z - 3 = 0
\end{array}\)

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\overrightarrow {AB}  = (4;1;2)\) và vuông góc với \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên:

\(\begin{array}{l}
\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\vec k} \right]\\
 = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&4\\
1&0
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
4&1\\
0&0
\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 4;0} \right)
\end{array}\)

(P) qua A(1;1;−1) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (1; - 4;0)\) nên (P) có phương trình:

\(\begin{array}{l}
1(x - 1) - 4(y - 1) + 0(z + 1) = 0\\
 \Leftrightarrow x - 4y + 3 = 0
\end{array}\)

c) Mặt phẳng (α): x − 5y + z = 0 có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1; - 5;1} \right)\)

Mp(β) qua A(3; 2; −1) song song với mp(α) nên (β) có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó: \(\left( \beta  \right):(x - 3) - 5(y - 2) + (z + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 5y + z + 8 = 0\)

d) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;1)\)

Mp(α): x − y + z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến \(\vec m = \left( {1; - 1;1} \right)\)

Mp(β) đi qua A, B và vuông góc với mp(α) nên vectơ pháp tuyến của (β) vuông góc với \(\overrightarrow {AB} \) và vuông góc với \(\overrightarrow m \) nên ta có thể chọn:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = (0;2;2)\)

Vậy (P): 2(y−1) + 2(z−1) = 0 ⇔ y + z − 2 = 0

e) Mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên có phương trình: 1(z − c) = 0 ⇔ z − c = 0

Tương tự mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua M(a, b, c) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

g) Giả sử A(a; 0; 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên:

\(\begin{array}{l}
\frac{{a + 0 + 0}}{3} = 1;\frac{{0 + b + 0}}{3} = 2;\\
\frac{{0 + 0 + c}}{3} = 3\\
 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9
\end{array}\)

Vậy mp(ABC): \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\)

h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm ΔABC khi và chỉ khi OH ⊥ mp(ABC).

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH}  = (2;1;1)\) nên có phương trình 

2(x−2) + (y−1) + (z−1) = 0 ⇔ 2x + y + z − 6 = 0

-- Mod Toán 12