Bài tập 12 trang 101 SGK Hình học 12

Bài tập 12 trang 101 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Câu a: Mặt phẳng (BCD) có cặp VTCP là \(\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD}\), từ đó ta suy ra được VTPT của mặt phẳng (BCD) và viết được phương trình mặt phẳng (BCD).

ABCD là tứ diện khi A không thuộc (BCD). Ta chỉ cần kiểm tra tọa độ A có thỏa phương trình mặt phẳng (BCD) vừa tìm được hay không là có thể đưa ra kết luận.

Đây là một cách kiểm tra 4 điểm có là 4 đỉnh của tứ diện hay không bên cạnh việc sử dụng tích hỗ tạp.

Câu b: Bán kính của mặt cầu S chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Câu c: Để tìm tọa độ tiếp điểm của (S) và (BCD) ta thực hiện các bước sau:

• Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua A vuông góc với (BCD).
• Tìm giao điểm của \(\Delta\) và (BCD), chính là tiếp điểm cần tìm.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết bài 12 như sau:

Câu a:

Ta có: \(\overrightarrow{BC}=(-3;0;1), \overrightarrow{BD}=(-4;-1;2)\)

Vecto pháp tuyến của (BCD) là: \(\vec{n}=\left [ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{BD} \right ]=(1;2;3)\)

Phương trình mặt phẳng (BCD) là:

1(x -3) + 2(y - 2) + 3z = 0 ⇔ x + 2y + 3z -7 = 0

Thay toạ độ điểm A vào phương trình của (BCD) ta được:

\(1(3) + 2(-2) + 3(-2) - 7 = -14\neq 0\), suy ra \(A\notin (BCD)\)

Vậy ABCD là một tứ diện.

Câu b:

Mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (BCD) có bán kính:

\(R=d(A,(BCD))=\frac{\left | -14 \right |}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}}=\sqrt{14}\)

Vậy phương trình của mặt cầu (S) là:

\((x-3)^2+(y+2)^2+(z+2)^2=14\)

Câu c:

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (BCD). Phương trình tham số của \(\Delta\) là:

\(\left\{\begin{matrix} x=3+t\\ y=-2+2t\\ z=-2+3t \end{matrix}\right.\)

Thay x= 3+t, y=-2+2t, z=-2+3t vào phương trình mp(BCD) ta được:

\(3+t+2(-2+2t)+3(-2+3t)-7=0\Leftrightarrow t=1\)

Khi đó x = 4; y= 0; z = 1

Vậy I(4;0;1) là tiếp điểm của (S) với mp(BCD).

-- Mod Toán 12